1期 集合【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 已 知 集 合 Ｍ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ ２ － １ ＝ ０ ｝ ，Ｎ ＝ ｛ｘ ｜ ａｘ － １ ＝ ０ ｝ ，若 Ｎ  Ｍ ，求 实 数 ａ 的 值 所 构 成 的 集 合 Ｐ． ２０． （１２ 分 ） 已 知 集 合 Ａ ＝ ｛ ｘ｜－ ３ ≤ ｘ≤ ６ ｝ ，Ｂ ＝ ｛ｘ｜ ｘ ＜ ４ ｝ ，Ｃ ＝ ｛ｘ ｜ ｍ － ５ ＜ ｘ ＜ ２ｍ ＋ ３ ｝． （１ ） 求 Ａ ∩ Ｂ ； （２ ） 若 Ａ  Ｃ ，求 实 数 ｍ 的 取 值 范 围 ． ２１． （１２ 分 ） 已 知 集 合 Ａ ＝ ｛ｘ｜ ａ － １ ＜ ｘ ＜ ２ａ ＋ １ ｝ ，Ｂ ＝ ｛ｘ｜０ ＜ ｘ ＜ １ ｝． （１ ） 若 Ｂ  Ａ ，求 实 数 ａ 的 取 值 范 围 ； （ ２ ） 若 Ａ ∩ Ｂ ＝  ，求 实 数 ａ 的 取 值 范 围 ． ２２． （１２ 分 ） 已 知 集 合 Ａ ＝ （ － ２ ，８ ） ，集 合 Ｂ ＝ ｛ｘ ｜２ｍ － １ ＜ ｘ ＜ ｍ ＋ ３ ｝． （１ ） 若 Ａ ∪ Ｂ ＝ Ａ ，求 实 数 ｍ 的 取 值 范 围 ； （ ２ ） 若 Ａ ∩ Ｂ ＝ （ａ ，ｂ） 且 ｂ － ａ ＝ ３ ，求 实 数 ｍ 的 值 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 一、概念含糊 例１已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ＋２＝０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜５，ｘ∈Ｎ｝，则满足条件ＡＣＢ的集 合Ｃ的个数为 （　　） （Ａ）１　　　（Ｂ）２　　　（Ｃ）３　　　（Ｄ）４ 错解：（Ｂ）　由题意知Ａ＝｛１，２｝，Ｂ＝｛１，２，３，４｝． 又Ａ Ｃ Ｂ，则集合 Ｃ可能为｛１，２，３｝，｛１，２，４｝． 选（Ｂ）． 事实上，错解把子集错误地理解为真子集，将ＡＣ 误认为集合Ａ中的元素比集合Ｃ中的元素要少，其实子 集也包括相等的情况．则集合Ｃ可能为｛１，２｝，｛１，２，３｝， ｛１，２，４｝，｛１，２，３，４｝．选（Ｄ）． 二、对集合的表示法理解有误 例２方程组 ｘ＋ｙ＝３， ｘ－ｙ＝－{ １的解集是 ． 错解：解方程组可得 ｘ＝１， ｙ＝２{ ， 因此，方程组的解集为｛ｘ＝１，ｙ＝２｝． 事实上，上面的集合中有两个元素，表示的是两个 方程，而方程组的解是一个数对，因此，应该写为｛（１， ２）｝或 （ｘ，ｙ） ｘ＝１ ｙ＝{ }{ ２． 三、符号混淆 例３在给定下面关系式中，错误的是 （　　） （Ａ）｛｝ （Ｂ） （Ｃ）∈｛｝ （Ｄ）｛｝ 错解：选（Ｃ）． 事实上，集合与集合是包含关系，且空集是任何集 合（包括空集）的子集，故（Ｂ）正确；｛｝中  其实是 一个元素的符号，就｛｝本身来说是一个非空集合，如 果把 视为是集合中的元素符号，那么根据元素与集 合是属于关系，得知（Ａ）错误，（Ｃ）正确；如果把视为 是空集符号，那么根据集合与集合是包含关系，得知 （Ｄ）也正确． 故选（Ａ）． 四、忽视集合中元素的互异性 例４设集合Ａ＝｛２，ａ２－ａ＋２，１－ａ｝，若４∈Ａ，则 ａ的值为 ． 错解：－１，－３，２　由集合中元素的确定性知ａ２－ ａ＋２＝４或１－ａ＝４． 当ａ２－ａ＋２＝４时，ａ＝－１或ａ＝２；当１－ａ＝ ４时，ａ＝－３． 综上，ａ＝－１或ａ＝２或ａ＝－３． 事实上，错解只注意到４∈Ａ，没有验证求出的ａ是 否使集合中的元素满足互异性，应继续验证： 当ａ＝－１时，Ａ＝｛２，４，２｝不满足集合中元素的互 异性，故ａ＝－１舍去； 当ａ＝２时，Ａ＝｛２，４，－１｝满足集合中元素的互异 性，故ａ＝２满足要求； 当ａ＝－３时，Ａ＝｛２，１４，４｝满足集合中元素的互 异性，故ａ＝－３满足要求． 综上，ａ＝２或ａ＝－３． 五、考虑不周 例５已知集合｛ａ，ｂ，ｃ｝＝｛０，１，２｝，且下列三个关 系：①ａ≠２；②ｂ＝２；③ｃ≠０有且只有一个正确，则５０ａ ＋８ｂ＋３ｃ等于 ． 错解１：①正确，则ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝２，即５０ａ＋８ｂ ＋３ｃ＝５６． 错解２：②正确，则ａ＝０，ｂ＝２，ｃ＝１，即５０ａ＋８ｂ ＋３ｃ＝１９． 事实上，错解中只是保证有一个正确，忽略另两个 必须不正确这一条件．本题应分三种情况讨论： （１）若①正确，则②③不正确，由③不正确得ｃ＝ ０，由①正确得ａ＝１，所以ｂ＝２，与②不正确矛盾，故 ①不正确； （２）若②正确，则①③不正确，由①不正确得ａ＝ ２，与②正确矛盾，故②不正确； （３）若③正确，则①②不正确，由①不正确得ａ＝ ２，由②不正确及③正确得ｂ＝０，ｃ＝１，故③正确． 则５０ａ＋８ｂ＋３ｃ＝１０３． 例６已知集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ≥５或 ｘ＜－４｝，Ｂ