专题2.7 与圆有关的新定义及材料阅读问题（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】 专题2.7与圆有关的新定义及材料阅读问题（培优强化30题）一、解答题 1．（2021·全国·九年级期中）【提出问题】 （1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短． 如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明． 【变式探究】 （2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN． ∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON． 又　　，∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM，∴PQ＞MN． 【拓展研究】 （3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　． 2．（2021·江苏南京·九年级期中）【概念提出】 圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距． 【数学理解】 如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距． （1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ． （2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：      ①AB的长随着OP的长的增大而增大； ②AB的长随着OP的长的增大而减小； ③AB的长随着OP的长的确定而确定； ④AB的长与OP的长无关． 其中所有正确结论的序号是 ． 【问题解决】 如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点． （3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法） （4）若弦AB，CD都过点Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l． ①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）； ②写出作AB，CD的思路． 3．（2021·江苏南京·九年级期中）、是中的两条等弦． （1）如图①，点与点重合，求证：圆心在的平分线上； （2）如图②，用直尺和圆规作弦（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若的半径为，，记弦、所在的直线交点为，且两直线夹角为．直接写出点与的位置关系及相应的的取值范围． 4．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 5．（2021·江苏南京·九年级期中）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为　 　；②△ABC面积的最大值为　 　； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得