专题6.3 相似三角形的判定【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题6.3 相似三角形的判定【十大题型】 【苏科版】 【题型1 相似三角形的判定条件】 2 【题型2 格点中的相似三角形】 5 【题型3 相似三角形的证明】 7 【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 12 【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】 18 【题型6 确定相似三角形的对数】 23 【题型7 相似三角形中的多结论问题】 27 【题型8 相似三角形与动点的综合】 31 【题型9 相似与最值】 34 【题型10 旋转型相似】 39 【知识点1 相似三角形的判定】 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【题型1 相似三角形的判定条件】 【例1】（2022秋•汉寿县期末）如图，若点P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），下列条件不能判定△ABC∽△ACP的是（　　） A．∠B＝∠ACP B．∠ACB＝∠APC C． D． 【分析】欲证△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠A＝∠A，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【解答】解：A、∠B＝∠ACP，因为∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合题意； B、∠ACB＝∠APC，因为∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合题意； C、，因为∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合题意； D、，因为∠A＝∠A，而PC和BC的夹角为∠C，所以不能判定△ABC∽△ACP，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2022春•泰安期末）如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（　　） A．或 B．10或 C．或10 D．以上答案都不对 【分析】分情况讨论. 【解答】解：∵△ABC与△ADE相似， ∴或， ∵AD＝8，AB＝12，AC＝15， ∴或， 解得：AE＝10或6.4． 故选：C． 【变式1-2】（2022秋•合肥期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　） A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点 C．CE•CD＝CA•CB D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：∵CE⊥CD， ∴∠EDC＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD， ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴DC＝DB＝DA， ∴∠DAC＝∠A， ∴∠BCE＝∠DCA＝∠A， ∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°， ∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°， ∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A， ∴△CEB∽△CAD， ∴A不符合题意， ∵点B是DE的中点， ∴BE＝BC， ∴∠BCE＝∠E， ∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A， ∴△CEB∽△CAD， ∴B不符合题意， ∵CE•CD＝CA•CB， ∴， ∵∠BCE＝∠DCA， ∴△CEB∽△CAD， ∴C不符合题意． 由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似， ∴D符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（2022秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是　∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB）　，或　AC2＝AP•AB　． 请回答： （1）王华补充的条件是　∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB）　，或　AC2＝AP•AB　． （2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题： 如图2，在△ABC中，∠A＝30°，AC2＝AB2+AB•BC．求∠C的度数． 【分析】（1）由∠A＝∠A，当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB；或时，△ACP∽△ABC； （2）延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，由已知条件得出证出，由∠A＝∠A，证出△ACB∽△ADC，得出对应角相等∠ACB＝∠D，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠