专题5.10 二次函数解析式的确定【六大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.10 二次函数解析式的确定【六大题型】 【苏科版】 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 1 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 4 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 8 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 10 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 14 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 18 【知识点1】 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值. 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？ 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式． （2）描点、连线画出图象即可； （3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得． 【解答】解：（1）由已知可得， 二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则 ， 解得：， ∴二次函数解析式为yx2﹣2x+1； （2）用描点法画出函数图象，如图所示： （3）令y＝0，则x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝2，x2＝2， 由图象知，当x＞2或x＜2时，y＞0， 【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式． 【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3． 【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点． 【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程组，解二元一次方程组可得，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x，顶点坐标公式，把a，b，c的值代入计算即可得出答案． 【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中， 得， ②﹣①， 得2b＝﹣10， 解得：b＝﹣5， 把b＝5代入①中， 得4+2×（﹣5）+c＝0， 解得：c＝6， ∴， ∴这个二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6， ∴二次函数y＝x2﹣5x+6对称轴是直线x， 由二次函数的顶点坐标公式（，）可得， 二次函数y＝x2﹣5x+6顶点坐标：x，y， 即（）． 【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）． （1）求m的值； （2）求这个二次函数解析式； （3）求y1大于y2时，x的取值范围． 【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解． （2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析式求解． （3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解． 【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1， 解得m＝﹣1． （2）由题意可得抛物线对称轴为直线x2， ∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c， 把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得， 解得， ∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12． （3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1， 解得x＝﹣1或x， ∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和， 如图， ∴x＜﹣1时，y1大于y2． 【知识点2】 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该图象的顶点坐标； （3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围． 【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解． （2）由抛物线顶点式求解． （3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x