专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】 【苏科版】 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 2 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 4 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 6 【题型4 二次函数中求线段最值】 10 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 18 【题型6 二次函数中求周长最值】 32 【题型7 二次函数中求面积最值】 42 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 52 【知识点1 二次函数的最值】 1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）： （1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值． （2）若，如图②，当，；当，． （3）若，如图③，当，；当，． （4）若，，如图④，当，；当，． 2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小． 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 【例1】（2022秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为　15+m　（用含m的式子表示）． 【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m， ∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值， ∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3， ∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m， ∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m， 故答案为：15+m． 【变式1-1】（2022秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4 【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3， 故选：B． 【变式1-2】（2022秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下： 解：当x＝﹣1时，y＝1； 当x＝2时，y＝4； 所以函数y的最小值为1，最大值为4． 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：小王的做法是错误的， 正确的做法如下： ∵二次函数y＝x2， ∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴， ∵﹣1≤x≤2， ∴当x＝0时取得最小值，最小值是0， 当x＝2时取得最大值，此时y＝4， 由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4． 【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1． （1）求b+c的值． （2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值． （3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 【分析】（1）由对称轴1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可求解析式； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，y有最大值21； （3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h）2，即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， ∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0）， ∴9﹣6﹣c＝0， ∴c＝3， ∴b+c＝1； （2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵﹣4≤x≤3， ∴当x＝﹣4时，y有最大值21； （3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上， ∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1， ∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1， 设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w， 则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h）2， ∴当h时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为． 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 【例