专题5.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】 【苏科版】 【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 1 【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 10 【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 21 【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】 35 【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】 42 【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】 56 【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】 68 【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】 78 【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求b，c，m的值； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值； （2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为yx，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5， 令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴m＝5； （2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为x＝2， 设D（x，﹣x2+4x+5）， ∵DE∥x轴， ∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5）， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴， ∴四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20， ∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大， ∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）； （3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K， ∴∠NKC＝∠MHC＝90°， 由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM， ∵B（5，0），C（0，5）． ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵CH⊥对称轴于H， ∴CH∥x轴， ∴∠BCH＝45°， ∴∠BCH＝∠OCB， ∴∠NCK＝∠MCH， ∴△MCH≌△NCK（AAS）， ∴NK＝MH，CK＝CH， ∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为x＝2，M（2，9）， ∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2， ∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2， ∴N（﹣4，3）， 设直线BN的解析式为y＝mx+n， ∴，解得， ∴直线BN的解析式为yx， ∴Q（0，）， 设P（2，p）， ∴PQ2＝22+（p）2＝p2p， BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2， BQ2＝52+（）2＝25， 分两种情况： ①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2， ∴9+p2＝p2p25，解得p， ∴点P的坐标为（2，）； ②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2， ∴p2p9+p2+25，解得p＝﹣9， ∴点P′的坐标为（2，﹣9）． 综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）． 【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC． （1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式； （2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求D点坐标，利用待定系数法求直线解析式即可； （2）设E（t