专题07 角平分线性质及其应用-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题07 角平分线的性质及其应用 【知识点睛】 · 见角平分线，作双垂→得①DE=DF；②△ADE≌△ADF · 见角平分线，作对称→即截长补短造全等 · 角平分线＋垂直→边相等即AC=AB · 角平分线＋平行线→边相等即AE=DE · 三角形角平分线夹角模型———————————— 【类题训练】 1．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数． 【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC＝，， ∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A＝60°， ∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣60°）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣60° ＝120°． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝　　．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝　 　． 【分析】根据三角形的外角定理可知∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线定义得∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，代入∠ACD＝∠A+∠ABC中，与∠A1CD＝∠A1+∠A1BC比较，可得∠A1＝＝，由此得出一般规律． 【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC， ∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A+∠A1BC， ∴∠A1＝＝， 由此可得∠A2010＝． 故答案为：，． 3．如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠BOA= ，∠DAC= ． 【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°， ∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O， ∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°， ∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°． 故答案为：∠AOB°＝125°，∠CAD＝20° 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（　　） A．3 B．4 C．3.5 D．2 【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF， ∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF， ∴BD＝DF＝4，FE＝CE， ∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3． 故选：A． 5．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°．则∠FEC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．60° 【分析】根据AD∥BC，∠DAC+∠ACB＝180°，再由∠DAC＝120°，得出∠ACB＝60°，由∠ACF＝20°，得∠BCF的度数，根据CE平分∠BCF，得∠BCE＝∠ECF，因为EF∥AD，则EF∥BC，∠FEC＝∠BCE，即可得出∠FEC＝∠FCE． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC+∠ACB＝180°， ∵∠DAC＝120°， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACF＝20°， ∴∠BCF的＝40°， ∵CE平分∠BCF， ∴∠BCE＝∠ECF＝20°，