专题5.5 二次函数的应用【九大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.5 二次函数的应用【九大题型】 【苏科版】 【题型1 图形面积或周长问题】 1 【题型2 图形运动问题】 6 【题型3 拱桥问题】 10 【题型4 销售问题】 14 【题型5 投球问题】 18 【题型6 喷水问题】 24 【题型7 增长率问题】 30 【题型8 车过隧道问题】 33 【题型9 行程问题】 38 【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案； 答：写出答案. 【题型1 图形面积或周长问题】 【例1】（2022秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可； （2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可． 【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE＝2BE， 设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am， ∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80， ∴ax+10，3ax+30， ∴y＝（x+30）xx2+30x， ∵ax+10＞0， ∴x＜40， 则yx2+30x（0＜x＜40）； （2）∵yx2+30x（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米． 【变式1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm． （1）若花园的面积为252m2，求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【分析】（1）根据AB＝x米可知BC＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论； （2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论． 【解答】解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252． 解这个方程得：x1＝18，x2＝14， 答：x的长度18m或14m． （2）设周围的矩形面积为S， 则S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256． ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米， ∴6≤x≤15． ∴当x＝15时，S最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）． 答：花园面积的最大值是255平方米． 【变式1-2】（2022秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有当x＝3时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有当x＝﹣1时，才能得到这个式子的最小值8． （1）当x＝　3　时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为　5　． （2）当x＝　﹣1　时，代数式2x2+4x+3有最小值为　1　． （3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）类比例子得出答案即可； （2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可； （3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题． 【解答】解：（1）在代数式﹣2（x﹣3）2