专题5.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】 【苏科版】 【题型1 抛物线与x轴的交点情况】 1 【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】 3 【题型3 由二次函数解一元二次方程】 6 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 9 【题型5 由二次函数的图象解不等式】 11 【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 13 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【题型1 抛物线与x轴的交点情况】 【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n与x轴只有一个交点（x1，0）．下列式子中正确的是（　　） A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n 【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系． 【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点， ∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2， ∴x2﹣2x1x（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n， ∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m， 故选：B． 【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0， ∴抛物线与x轴有2个交点， ∵c＝﹣3， ∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3）， ∴抛物线与坐标轴有3个交点， 故选：D． 【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（　　） A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27 【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n）， ∴对称轴是直线x＝m+1， 又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴顶点为（m+1，0）， ∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2， 把A（m﹣2，n）代入，得： n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27， 即n＝﹣27． 故选：D． 【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（　　） A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9） 【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标． 【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）， ∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，3， ∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6， 解得：c＝0， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9， ∴顶点P的坐标为（3，﹣9）， ∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9）， 故选：A． 【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜