专题5.1 二次函数的定义【七大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.1 二次函数的定义【七大题型】 【苏科版】 【题型1 二次函数的识别】 1 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 3 【题型3 二次函数的一般形式】 4 【题型4 判断二次函数的关系式】 5 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 8 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 9 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】 11 【知识点1 二次函数的概念】 一般地，形如y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c 是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二 次函数的一般形式． 【题型1 二次函数的识别】 【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（　　） ①y＝（x+1）2﹣x2； ②y＝﹣3x2+5； ③y＝x3﹣2x； ④y＝x23． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【解答】解：①该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意； ②该函数是二次函数，故本选项符合题意； ③该函数不是二次函数，故本选项不符合题意． ④该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x23；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次函数的定义，判断即可． 【解答】解：观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x23；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x， 所以，共有3个， 故选：B． 【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（　　） ①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数； ③y3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数； ④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数； ⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，这里a可能等于0，不是二次函数； ⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函数； ⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函数． ∴只有②④⑥一定是二次函数． 故选：C． 【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①y；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y；⑤y＝﹣x+x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数， 故选：B． 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1或3 C．3 D． 【分析】让x的次数为2，系数不为0即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴m＝3， 故选：C． 【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3 【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可． 【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0， 解得m1＝2，m2＝3，且m≠3， 所以，m＝2． 故选：C． 【变式2-3】函数y＝（a﹣5）2x﹣1，当a＝　 　时，它是一次函数；当a＝　 　时，它是二次函数． 【分析】根据一次函数和二次函数的定义解答． 【解答】解：当y＝（a﹣5）2x﹣1是一次函数时，a2+4a+5＝1或a﹣5＝0， 解得a＝﹣2或a＝5， 即当a＝﹣2或5时