第一章　1.2.1 命题与量词（课堂练习）2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.1　命题与量词 [对应素能提升训练第10页] 1．(多选)对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的是(　　) A．不是命题　　　　　 B．是命题 C．是假命题　　 D．是真命题 解析　能够判断真假，所以是命题，而且x>1不一定有x>2，∴是假命题． 答案　BC 2．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是(n－2)×180°. A．0　 　　　 B．1　 　　 C．2　 　　　 D．3 解析　①③是全称量词命题． 答案　C 3．(多选)下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在一个x0∈R，满足|x0|≥0 解析　命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题D是存在量词命题． 答案　AD 4．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．若2x为偶数，则∀x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析　对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C． 答案　C 5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 解析　因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确． 答案　B 6．(2022·烟台高一月考)下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题有____________． 解析　①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题． 答案　①③ 7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为_____________________． 解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”． 答案　∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0 8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)有理数都是实数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x∈{x|x>0}，x＋>2. 解　(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题． (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题，且为假命题，当x＝1时，x＋＝2. 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解　(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题． (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题． 如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题． (4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题． 10．(2022·沈阳高一月考)命题p：“∀x∈[1，2]，2x2－x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　　 B．(－1，＋∞) C．(－1，1)　　 D．[－1，1] 解析　由命题p：“∀x∈[1，2]，2x2－x－m>0”为真命题，即对于∀x∈[1，2]，m<2x2－x恒成立，得m<(2x2－x)min＝1，所以m<1. 答案　A 11．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为____________． 解析　当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1. 答案　{a|a<1} 12．命题p：任意x∈R，一次函数y＝－2x＋b的图象都不经过第一象限，若命题p为真命题，则实数b的取值范围是____________． 解析　因为一次函数y＝－2x＋b的图象都不经过第一象限，所以实数b的取值范围为(－∞，0]． 答案　(－∞，0] 13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，求实数a的取值范围． 解　当a＝0时，不等式显然成立； 当a≠0时，由题意知解得－8≤a<0.