第8期 3.4.2相似三角形的性质 3.5相似三角形的应用 3.6位似(答案第10期)-【数理报】2022-2023学年九年级（中考）数学同步学案（湘教版）

书 １．（２０２１河南模拟）如图１，等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ ＝５，ＢＣ＝８，点Ｆ是边ＢＣ上不与点Ｂ，Ｃ重合的一个动 点，直线ＤＥ垂直平分ＢＦ，垂足为Ｄ．当△ＡＣＦ是直角三 角形时，ＢＤ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．７８ Ｃ．２或 ７ ８ Ｄ． １ ８ ２．（２０２２佳木斯前进区期末）如图２，矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝３，ＢＣ＝１０，点Ｐ是ＡＤ上的一个动点，若以Ａ，Ｐ，Ｂ 为顶点的三角形与△ＰＤＣ相似，则满足条件的点Ｐ的个 数是 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ３．（２０２２武汉江夏区模拟）如图 ３，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，Ｅ是 ＢＣ 的中点，点Ｐ在射线ＡＤ上，过点Ｐ作 ＰＦ⊥ＡＥ，垂足为Ｆ．当点Ｐ在射线ＡＤ 上运动时，若以Ｐ，Ｆ，Ｅ为顶点的三角 形与 △ＡＢＥ相似，则 ＰＡ的值为 ． ４．如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ ＝４，过点Ｂ作射线ＢＭ∥ＡＣ．动点Ｄ从点Ａ出发沿射线 ＡＣ方向以每秒４个单位的速度运动，同时动点Ｅ从点Ｃ 出发沿射线ＡＣ方向以每秒３个单位的速度运动．过点Ｅ 作ＥＦ⊥ＡＣ交射线ＢＭ于Ｆ，Ｇ是ＥＦ中点，连接ＤＧ．设 点Ｄ运动的时间为ｔ，当△ＤＥＧ与△ＡＣＢ相似时，ｔ的值 为 ． ５．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝８，Ｆ是ＢＣ 边上的中点，动点Ｅ在边ＡＤ上，连接ＥＦ，过点Ｆ作ＦＰ⊥ ＥＦ分别交射线ＡＤ，射线ＣＤ于点Ｐ，Ｑ． （１）当点Ｐ与点Ｑ重合时，求ＰＦ的长； （２）线段ＰＦ将矩形分成两个部分，设较小部分的 面积为ｙ，ＡＥ长为ｘ，求ｙ与ｘ的函数关系式                                       ． 书 如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＡＤ的中点，ＢＦ，ＣＥ交 于点Ｍ，若 △ＢＥＭ的面积 为１，则四边形ＡＥＭＦ的面积为 ． 书 １８．（１）证明：因为 ＡＢ ＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ － ∠ＤＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ－∠ＤＡＦ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． （２）因为△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ，∠ＡＤＥ ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ，所 以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ２１°． （３）证明：由（１） 知∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．因 为 ＡＢ ＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ， 所 以 △ＡＢＤ ∽ △ＡＣＥ． １９．（１）证明：因为 ＡＢ ＝ ＡＤ，ＡＣ 平 分 ∠ＢＡＤ，所以ＡＣ⊥ＢＤ， 所以∠ＡＣＤ＋∠ＢＤＣ＝ ９０°．因为 ＡＣ＝ＡＤ，所 以∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ，所 以 ∠ＡＤＣ＋∠ＢＤＣ＝ ９０°．因为 ＰＤ⊥ ＡＤ，所 以 ∠ＡＤＣ＋∠ＰＤＣ＝ ９０°，所 以 ∠ＢＤＣ ＝ ∠ＰＤＣ． （２）过点 Ｃ作 ＣＭ ⊥ＰＤ于点Ｍ．由（１）知 ∠ＢＤＣ＝∠ＰＤＣ，所以 ＣＥ＝ＣＭ．因为 ∠ＣＭＰ ＝∠ＡＤＰ＝９０°，∠Ｐ＝ ∠Ｐ，所以 △ＣＰＭ ∽ △ＡＰＤ，所以ＣＭＡＤ＝ ＰＣ ＰＡ． 设ＣＭ ＝ＣＥ＝ｘ．因为 ＣＥ∶ＣＰ＝２∶３，所以ＰＣ ＝ ３２ｘ．因为 ＡＢ＝ＡＤ ＝ＡＣ＝１，所以 ｘ１ ＝ ３ ２ｘ ３ ２ｘ＋１ ，解 得 ｘ１ ＝ ０（舍去），ｘ２ ＝ １ ３．故 ＡＥ＝１－１３ ＝ ２ ３． ２０．（１）△ＡＢＥ与 △ＤＥＦ相似，理由如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，所以 ∠Ａ ＝ ∠Ｄ＝９０°．因为∠ＢＥＦ ＝９０°，所以 ∠ＡＢＥ＋ 书 上期２版 ３．４．１相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．２５；　４．４∶２１． ５．因为 ＡＢ∥ ＧＨ∥ ＣＤ，所以 △ＣＧＨ∽ △ＣＡＢ， △ＢＧＨ∽△ＢＤＣ，所以ＧＨＡＢ＝ ＣＨ ＢＣ， ＧＨ ＣＤ＝ ＢＨ ＢＣ，所以 ＧＨ ＡＢ＋ ＧＨ ＣＤ＝ ＨＣ ＢＣ＋ ＢＨ ＢＣ＝１．因为ＡＢ＝２，ＣＤ＝３，所以 ＧＨ ２＋ ＧＨ ３ ＝１，所以ＧＨ＝ ６５． ３．４．１相似三角形的判定（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．６０；　４．４． 能力提高　５．证明：（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＢＡＥ ＝∠ＡＥＤ，∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为 ∠ＡＦＢ＋∠ＢＦＥ＝ １８０°，∠ＢＦＥ＝∠Ｃ，所以∠Ｄ＝∠ＡＦＢ，所以△ＡＢＦ∽ △ＥＡＤ． （２）由（１）得△ＡＢＦ∽△ＥＡＤ，所以ＤＥＡＦ＝ ＡＥ ＡＢ．因为 ＡＢ＝ＣＤ，所以ＤＥＡＦ＝ ＡＥ ＣＤ，所以ＤＥ·ＤＣ＝ＡＥ·ＡＦ． ３．４．１相似三角形的判定（第三课时） 基础训练　１．