第7期 3.4.1相似三角形的判定(答案见下期)-【数理报】2022-2023学年九年级（中考）数学同步学案（湘教版）

书 １８．（１）由已知得 ＭＮ ＝ＡＢ＝２，ＭＤ ＝ １ ２ＡＤ＝ １ ２ＢＣ，因为沿 长边对折后得到的矩形 与原矩形相似，所以矩 形ＤＭＮＣ与矩形 ＡＢＣＤ 相似，所以 ＤＭ ＡＢ ＝ ＭＮ ＢＣ， 所以 ＤＭ·ＢＣ＝ＡＢ· ＭＮ，即 １２ＢＣ ２＝４，所以 ＢＣ＝ 槡２２，即它的另一 边长为 槡２２． （２） 因 为 矩 形 ＦＥＣＤ与原矩形 ＡＢＣＤ 相似，所以 ＤＦ ＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ．因 为ＡＢ＝ＣＤ＝２，ＢＣ＝ ４，所以 ＤＦ＝ＡＢ·ＣＤＢＣ ＝１，所以矩形ＦＥＣＤ的 面积 ＝ＣＤ·ＤＦ＝２×１ ＝２． １９．（１）证明：因为 菱形 ＡＢＣＤ ∽ 菱 形 ＡＥＦＧ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＥＡＧ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＧＡＢ ＝ ∠ＥＡＧ ＋ ∠ＧＡＢ，所以 ∠ＧＡＤ ＝ ∠ＥＡＢ． 因为 ＡＢ＝ＡＤ，ＡＥ ＝ＡＧ，所以 △ＡＧＤ≌ △ＡＥＢ，所以ＧＤ＝ＥＢ． （２）连接ＢＤ交ＡＣ 于点Ｐ，则ＢＰ⊥ＡＣ，因 为 ∠ＤＡＢ＝６０°，所以 ∠ＰＡＢ＝３０°．因为菱形 ＡＢＣＤ∽菱形ＡＥＦＧ，相 似比是 槡２∶３，ＡＢ＝２， 所以 ＡＥ ＝槡３，ＢＰ ＝ １ ２ＡＢ＝１，所以 ＡＰ＝ ＡＢ２－ＢＰ槡 ２ ＝槡３，所 以ＥＰ＝ 槡２３，所以 ＥＢ ＝ ＥＰ２＋ＢＰ槡 ２ ＝ １２＋槡 １＝槡１３，所以 ＧＤ＝槡１３． ２０．（１）过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于Ｅ，因 书 在近几年的各种考试中，网格中的格点三角形（顶 点在网格交点处）相似问题频频出现．这些试题，将相 似三角形的基础知识的考查寓于新颖的情境之中，既 开拓了同学们的视野，又考查了同学们知识的迁移、类 比能力，对培养同学们的创新意识和创新能力有很好 的导向作用．列举以下几例供同学们参考． 一、确定相似比 例１　如图１是一个４×４的正方 形网格，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１都是格点 三角形，并且 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则 △ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 相 似 比 是 ． 解析：由勾股定理，得 Ａ１Ｃ１ ＝１，Ａ１Ｂ１ ＝２，ＡＣ＝ 槡２，ＡＢ＝ 槡２２， 由△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１可知，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的 相似比 ＝ＡＣ∶Ａ１Ｃ１ ＝ＡＢ∶Ａ１Ｂ１ ＝槡２∶１． 故填槡２∶１． 二、识别相似三角形 例２　下列四个三角形中，与图２中的三角形相似 的是 （　　） 解析：观察图２，发现难以从三角形的内角入手，但 可以求边长． 设网格中小正方形的边长为１，则图２中三角形的 边长分别为：槡２，槡２２，槡１０． 选项Ａ中三角形的边长分别为：２，槡１０，槡３２； 选项Ｂ中三角形的边长分别为：２，４，槡２５； 选项Ｃ中三角形的边长分别为：２，３，槡１３； 选项Ｄ中三角形的边长分别为：槡５，槡１３，４． 因为槡 ２ ２ ＝ 槡２２ ４ ＝ 槡１０ 槡２５ ， 所以选项Ｂ中的三角形与图２中的三角形相似． 故选Ｂ． 书 如图，已知ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＜３０°，Ｄ是ＢＣ上一点， 满足∠ＢＡＤ＝１２０°，ＢＤＣＤ＝ ７ ３，求 ＡＤ ＡＣ的值． 书 １．（２０２２沂源期末）如图１，△ＡＢＣ中，ＣＥ⊥ＡＢ，垂 足为点Ｅ，ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为点Ｄ，ＣＥ与ＢＤ交于点Ｆ，则 图中相似三角形有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６对 Ｂ．５对 Ｃ．４对 Ｄ．３对 ２．如图２，已知 △ＡＢＣ和 △ＣＤＥ都是等边三角形， 且点Ｄ在ＡＢ边上，ＡＢ＝５，ＢＤ＝３，边ＢＣ与ＤＥ相交于 点Ｆ，连接ＢＥ，则ＥＦＤＥ的值是 （　　） Ａ．１３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ２ ５ Ｄ． ３ ５ ３．如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝ ４，翻折∠Ｂ，使点Ｂ落在直角边ＡＣ上的点Ｄ处，折痕为 ＥＦ，点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＡＢ上，若 △ＣＤＥ与 △ＡＢＣ相 似，则ＣＥ的长为 ． ４．（２０２２郑州一模）如图４，在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，边长为４的等边△ＯＡＢ的边ＯＡ在ｘ轴上，点Ｃ，Ｄ，Ｅ 分别是ＡＢ，ＯＢ，ＯＡ上的动点，且满足 ＢＤ＝２ＡＣ，ＤＥ∥ ＡＢ，连接ＣＤ，ＣＥ，当点Ｅ的坐标为 时，△ＣＤＥ与 △ＡＣＥ相似． ５．如图５，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｅ，且∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＡＢ＝ 槡６５，ＢＣ＝６，ＣＥ＝３． （１）求ＣＤ的长； （２）求证：△ＣＤＥ∽△                                ＢＤＣ． 书 探究发现：（２０２２高邮期末）如 图 １，将 △ＡＢＣ绕点 Ａ旋转至 △ＡＢ′Ｃ′的位置，点 Ｂ′恰好在 ＢＣ 上，ＡＣ与Ｂ′Ｃ′交于点 Ｅ，连接 ＣＣ′． 求证：ＥＣ·ＥＡ＝ＥＢ′·ＥＣ′． 思路分析：根据比例的基本性 质，欲证ＥＣ·ＥＡ＝ＥＢ′·ＥＣ′，只需 证明 ＥＣ ＥＣ′＝ ＥＢ′ Ｅ