第1期 1.1反比例函数1.2反比例函数的图象与性质(答案见下期)-【数理报】2022-2023学年九年级（中考）数学同步学案（湘教版）

书 【真面目】在反比例函数ｙ＝ｋ－１ｘ 的图象的每一 支上，ｙ都随ｘ的增大而减小，求ｋ的取值范围． 分析：由于该函数的每一条曲线上ｙ都随ｘ的增大 而减小，所以ｋ－１＞０，解之即可得到正确答案． 解：根据题意，得ｋ－１＞０，解得ｋ＞１． 【易容一】已知ｙ是ｘ的反比例函数，当ｘ＞０时，ｙ 随ｘ的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表 达式 ． 分析：反比例函数的图象在每个象限内，ｙ随 ｘ的 增大而减小，则ｋ＞０；反之，只要ｋ＞０，则在每个象限 内，ｙ随ｘ的增大而减小． 解：只要系数ｋ＞０即可，答案不惟一，如ｙ＝１ｘ（ｘ ＞０）． 【易容二】若函数ｙ＝ｍ－１ｘ 的图象在每一象限内， ｙ随ｘ的增大而增大，则ｍ的值可以是 （写出 一个即可）． 分析：本题是以开放的形式考查了反比例函数的 性质，解题的关键是把“图象在每一象限内，ｙ随ｘ的增 大而增大”转化为ｍ－１＜０，从而可确定ｍ＜１，故ｍ 的值不惟一． 解：答案不惟一，如 －１． 【易容三】已知反比例函数ｙ＝１－２ｍｘ （ｍ为常数） 的图象在第一、三象限． （１）求ｍ的取值范围； （２）如图，若该反比例函数 的图象经过ＡＢＯＤ的顶点Ｄ，点 Ａ，Ｂ的坐标分别为（０，３），（－２， ０），求该函数的表达式． 分析：（１）反比例函数的图 象在第一、三象限，故比例系数大于０； （２）通过确定点Ｄ的坐标，再求反比例函数的表达式． 解：（１）因为图象在第一、三象限， 所以１－２ｍ＞０，解得ｍ＜ １２． （２）由四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，Ａ（０，３）， Ｂ（－２，０），可得点Ｄ（２，３）． 把点Ｄ（２，３）代入ｙ＝１－２ｍｘ 中，得３＝ １－２ｍ ２ ， 所以１－２ｍ＝６， 所以函数表达式为ｙ＝ ６ｘ． 书 如图，在平面直角坐标 系中，矩形 ＡＢＣＤ的四条边 分别与坐标轴交于点 Ｅ，Ｆ， Ｇ，Ｈ，ＡＤ∥ ｘ轴，四边形 ＡＦＯＥ与四边形ＣＨＯＧ的面 积分别为２，３，点 Ｂ，Ｄ分别 在反比例函数ｙ＝１ｘ（ｘ＜０），ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０，ｋ＞０）的 图象上，则ｋ的值为 ． 书 对于跟双曲线有关的规律问题，我们要通过观察与 探索，从中发现一般规律，下面我们举例说明如何解决 此类问题． 一、点的坐标规律 例１　两个反比例函数ｙ＝ ３ ｘ，ｙ＝ ６ ｘ在第一象限内的图象 如图 １所示，点 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…， Ｐ２０２２在反比例函数ｙ＝ ６ ｘ图象 上，它们的横坐标分别是 ｘ１，ｘ２， ｘ３，…，ｘ２０２２，纵坐标分别是１，３，５，…，共２０２２个连续奇 数．过点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…，Ｐ２０２２分别作ｙ轴的平行线，与反 比例函数ｙ＝３ｘ的图象依次交于点Ｑ１（ｘ１，ｙ１），Ｑ２（ｘ２， ｙ２），Ｑ３（ｘ３，ｙ３），…，Ｑ２０２２（ｘ２０２２，ｙ２０２２），则ｙ２０２２等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２０２０．５ Ｂ．２０２１．５ Ｃ．２０２２ Ｄ．４０４３ 分析：因为点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…，Ｐ２０２２在反比例函数ｙ＝ ６ ｘ的图象上，根据点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３的纵坐标，推出Ｐ２０２２的纵 坐标，再根据ｙ＝６ｘ与ｙ＝ ３ ｘ的关系，求出ｙ２０２２的值． 解：因为点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…的纵坐标为１，３，５，…是连 续奇数，所以可推出Ｐｎ的纵坐标为２ｎ－１， 故点Ｐ２０２２的纵坐标为２×２０２２－１＝４０４３． 因为ｙ＝６ｘ与ｙ＝ ３ ｘ在横坐标相同时，ｙ＝ ６ ｘ的 纵坐标是ｙ＝ ３ｘ的纵坐标的２倍， 所以ｙ２０２２ ＝ １ ２×４０４３＝２０２１．５． 故选Ｂ． 点评：本题主要考察点与图象、坐标与反比例函数 表达式之间的相互转化．解决本题既要从数字中发现蕴 含的规律，又要善于观察分析，充分发挥数形结合思想 的指导作用． 二、面积的规律问题 例２　如图２，在反比例函数的 图象 ｙ＝ ４ｘ（ｘ＞０）上，有点 Ｐ１， Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，…，已知点 Ｐ１的横坐标 为２，且后面每个点的横坐标与它前 面相邻点的横坐标的差都是２．过点 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，…，分别作 ｘ轴，ｙ轴 的垂线，所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 Ｓ１， Ｓ２，Ｓ３，…，则Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋… ＋Ｓｎ ＝ ． 分析：由题易求得点Ｐ１的坐标，再计算矩形Ｐ１ＡＣＢ 的面积．观察图象可知，将所有的阴影部分平移到左边， 则阴影部分的面积之和就等于矩形Ｐ１ＡＣＢ的面积． 解：过点Ｐｎ＋１作ｙ轴的垂线段，垂足为点Ｃ，由题知， ｘｐｎ＋１ ＝２（ｎ＋１），则ｙＡ ＝ｙｐｎ＋１ ＝ ４ ２（ｎ＋１）．因为ＡＣ＝ ２，ＡＥ＝ ４２（ｎ＋１），故Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋… ＋Ｓｎ ＝Ｓ矩形Ｐ１ＥＯＢ －Ｓ矩形ＡＥＯＣ ＝２× ４ ２－２× ４ ２（ｎ＋１）＝４－ ４ ｎ＋１． 故填４－ ４ｎ＋１． 点评：本题考查了反比例函数系数ｋ的几何意义，