第5期 2.4线段的垂直平分线2.5角平分线的性质2.6等腰三角形(答案第7期)-【数理报】2022-2023学年八年级上册初二数学同步学案（青岛版）

书 （上接第２版） ２．６．２等边三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２１益阳）如图１，ＡＢ∥ＣＤ，△ＡＣＥ为等边三角 形，∠ＤＣＥ＝４０°，则∠ＥＡＢ＝ （　　） Ａ．１０° Ｂ．２０° Ｃ．３０° Ｄ．４０° ２．如图２，点Ｄ在等边△ＡＢＣ的ＣＢ边的延长线上， 点Ｅ在线段ＢＣ上，连接ＡＤ，ＡＥ．若ＤＡ＝ＤＥ，且∠ＤＡＢ ＝２０°，那么∠ＥＡＣ的度数为 ． ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｍ是ＡＣ边上的点， Ｎ是△ＡＢＣ内一点，ＭＮ∥ ＡＢ，且 ＡＭ ＝ＭＮ，∠ＮＢＣ＝ ６０°．试说明：△ＮＢＣ是等边三角形． ４．（２０２１烟台莱山区期末）如图４，在等边 △ＡＢＣ 中，ＢＣ＝８，过ＢＣ边上的一点Ｐ作∠ＤＰＥ＝６０°，分别与 边ＡＢ，ＡＣ相交于点Ｄ与点Ｅ． （１）在图中找出与∠ＥＰＣ始终相等的角，并说明理 由； （２）若△ＰＤＥ为等边三角形，求ＢＤ＋ＣＥ的值． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ在 ＢＣ边 上，且∠ＡＤＢ＝９０°＋１２∠ＣＡＤ． （１）试说明：ＡＤ＝ＡＣ； （２）点Ｅ在ＡＢ边上，连接ＣＥ交ＡＤ 于点Ｆ，且∠ＣＦＤ＝∠ＣＡＢ，ＡＥ＝ＢＤ， 求∠Ｂ的度数                                     ． 书 角平分线的性质：角的平分线上的点，到这个角的 两边的距离相等． 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上． 一、证明两条线段相等 例１　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，点 Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＤ上，ＡＥ＝ＡＦ， ＣＥ＝ＣＦ．试说明：ＣＢ＝ＣＤ． 证明：连接 ＡＣ，如图 １．在 △ＡＥＣ与△ＡＦＣ中，因为ＡＥ＝ ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，ＡＣ＝ＡＣ，由ＳＳＳ， 所以 △ＡＥＣ≌ △ＡＦＣ．所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＦ．因为 ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，所以 ＣＢ＝ ＣＤ． 二、说明面积之间的数量关系 例２　 如图 ２，在 △ＡＢＣ 中，∠ＣＡＢ和 ∠ＣＢＡ的平分线 交于点 Ｐ，连接 ＰＣ．若 △ＰＡＢ， △ＰＢＣ，△ＰＡＣ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，则 （　　） Ａ．Ｓ１ ＜Ｓ２＋Ｓ３ Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２＋Ｓ３ Ｃ．Ｓ１ ＞Ｓ２＋Ｓ３ Ｄ．无法确定Ｓ１与Ｓ２＋Ｓ３的大小 解：过点Ｐ分别作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，ＰＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，如图２．因为∠ＣＡＢ和∠ＣＢＡ的平 分线交于点Ｐ，所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ．因为Ｓ２＝ １ ２ＢＣ· ＰＦ，Ｓ３＝ １ ２ＡＣ·ＰＥ，所以Ｓ２＋Ｓ３＝ １ ２（ＡＣ＋ＢＣ）·ＰＤ． 因为Ｓ１＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ，ＡＢ＜ＡＣ＋ＢＣ，所以Ｓ１＜Ｓ２＋Ｓ３． 故选Ａ． 三、求角度 例３　如图３，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，Ｅ 是ＢＣ的中点，ＤＥ平分∠ＡＤＣ，∠ＣＥＤ＝ ３５°，则∠ＥＡＢ＝ °． 解：过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，如图 ３．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＣＥ⊥ＣＤ．又因 为ＤＥ平分∠ＡＤＣ，ＥＦ⊥ＡＤ，所以ＥＣ＝ ＥＦ．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＣ＝ＥＢ． 所以ＥＢ＝ＥＦ．因为∠Ｂ＝９０°，所以ＢＥ ⊥ＡＢ．所以ＡＥ平分∠ＢＡＤ．因为∠ＣＥＤ ＝３５°，所以∠ＣＤＥ＝９０°－∠ＣＥＤ＝５５°．所以∠ＡＤＣ ＝２∠ＣＤＥ＝１１０°．因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，所以ＤＣ∥ ＡＢ．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝７０°．所以∠ＥＡＢ＝ １ ２∠ＢＡＤ＝３５°．故填３５． ! ! " !"!!"#$% !"# &'()#*%! +,$%$-%$%. ! # " !"# &'()#*%! +,%%$-$$$. !"&/012 ! & " 3!+#*%45678 9 ! ' " #"!2%:;<= #"#;<=:>?@A #"&;<=2% ! ( " #"'BC:DEFGB #"(*FGB:@A #")+H#*% ! ) " 32%:;<=I567 89 ! * " JKLM,N. ! + " JKLM,O. ! , " &"!PQ:>?@A &"#PQ:RP &"&PQ:STUVT ! !- " &"'PQ:WP &"(PQ:XTUYT &")Z[Z\ ! !! " &"*]^_N`Nabc :PQbc ! !# " 3PQI56789 ! !& " '"!XdFef '"#Kgf '"&hf ! !' " '"'fi:jkcl '"(bm '") nopqopFe f[bm ! !( " 3fiPrI56789 ! !) " ("!stUuv ("#_wxyz{ ("&wx|}~z{ ("' FB:@As€ [(ss€ ! !* " ("(#*%*[s€ (")}~z{‚\ ! !+ " ƒ}~z{„…