第1期 1.1全等三角形 1.2怎样判定三角形全等(SAS,ASA)(答案见下期)-【数理报】2022-2023学年八年级上册初二数学同步学案（青岛版）

书 全等三角形中有两个基本图形，一个可用来证明线 段相等，另一个可用来证明角相等．它们在全等三角形 的证明中应用非常广泛，下面举例说明． 性质：如图１，等长线段加上（或减去）同一线段后 仍相等． 一般推理步骤为：因为ＡＢ＝ＣＤ（已知），所以ＡＢ＋ ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＤ，即ＡＤ＝ＣＢ；或因为ＡＤ＝ＣＢ（已知）， 所以ＡＤ－ＢＤ＝ＣＢ－ＢＤ，即ＡＢ＝ＣＤ． 例１　如图２，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 在一条直线上，ＥＡ∥ ＦＢ，ＥＡ＝ ＦＢ，ＡＢ＝ＣＤ． （１）试说明：∠Ｅ＝∠Ｆ； （２）若 ∠Ａ＝４０°，∠Ｄ＝ ８０°，求∠Ｅ的度数． 解：（１）因为ＥＡ∥ＦＢ，所以∠Ａ＝∠ＦＢＤ． 因为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＣ，即ＡＣ＝ ＢＤ． 在△ＥＡＣ与 △ＦＢＤ中，因为 ＥＡ＝ＦＢ，∠Ａ＝ ∠ＦＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ，由 ＳＡＳ，所以 △ＥＡＣ≌ △ＦＢＤ．所以 ∠Ｅ＝∠Ｆ． （２）因为△ＥＡＣ≌ △ＦＢＤ，所以 ∠ＥＣＡ＝∠Ｄ＝ ８０°．因为∠Ａ＝４０°，所以∠Ｅ＝１８０°－∠Ａ－∠ＥＣＡ＝ ６０°． 性质：如图３，等角加上（或减 去）同一角后仍相等． 一般推理步骤为：因为∠ＡＯＣ ＝∠ＢＯＤ（已知），所以 ∠ＡＯＣ＋ ∠ＣＯＤ ＝∠ＢＯＤ ＋∠ＣＯＤ，即 ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ；或因为 ∠ＡＯＤ ＝∠ＢＯＣ（已知），所以 ∠ＡＯＤ－∠ＣＯＤ＝∠ＢＯＣ－ ∠ＣＯＤ，即∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ． 例２　（２０２１宜宾）如图４， 已知 ＯＡ ＝ ＯＣ，ＯＢ ＝ ＯＤ， ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ． 试 说 明： △ＡＯＢ≌△ＣＯＤ． 证 明： 因 为 ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ，所以∠ＡＯＣ－∠ＡＯＤ＝ ∠ＢＯＤ－∠ＡＯＤ，即∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＢ． 在 △ＡＯＢ与 △ＣＯＤ 中，ＯＡ ＝ ＯＣ，∠ＡＯＢ ＝ ∠ＣＯＤ，ＯＢ＝ＯＤ，由ＳＡＳ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ． 书 在求解有关全等三角形的动点问题时，要研究基本 图形及动点的运动状态，进而确定时间范围，借助方程 求解．解题过程中要注意有时需要分类讨论． 一、单向运动 例 １　 如图 １，在等边 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，Ｄ为边ＢＣ上 一点，且ＢＤ＝６．动点Ｐ从点Ｃ 出发沿ＣＡ边以每秒２个单位的 速度向点 Ａ运动，连接 ＡＤ，ＢＰ． 设点Ｐ运动的时间为ｔ秒，当ｔ的 值为 时，△ＡＢＤ与△ＢＡＰ全等． 解：因为△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＢ＝８，所以ＡＣ＝ ８，∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＰ．因为△ＡＢＤ与△ＢＡＰ全等，所以ＢＤ ＝ＡＰ＝６．所以ＣＰ＝ＡＣ－ＡＰ＝２．所以ｔ＝２÷２＝１． 故填１． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ， ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝∠Ｂ，点 Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度 由点Ａ向点 Ｂ运动，同时，点 Ｑ 在线段 ＢＤ上由点 Ｂ向点 Ｄ运 动．设运动时间为ｔｓ，当点Ｑ的 运动速度为 ｃｍ／ｓ时，△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等． 解：设点Ｑ的运动速度是ｘｃｍ／ｓ．因为∠Ａ＝∠Ｂ， 所以△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等有两种情况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３，则ｔ＝１２×４÷１＝２． 所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３，则ｔ＝（４－３）÷１＝１． 所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ．设点 Ｅ的运动时间为 ｔｓ，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ｅ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）．点Ｆ 到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）．因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． 书 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 一、全等三角形的性质“独奏” 例１　（２０２１哈尔滨）如图 １，△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，点Ａ和点Ｄ 是对应顶点，点Ｂ和点Ｅ是对应 顶点，过点Ａ作 ＡＦ⊥ ＣＤ，垂足 为点Ｆ．若∠ＢＣＥ＝６５°，则∠ＣＡＦ的度数为 （　　） Ａ．３０°　　　Ｂ．２５°　　　Ｃ．３５°　　　Ｄ．６５° 解：因为△ＡＢＣ≌ △ＤＥＣ，所以 ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． 所以∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ，即∠ＢＣＥ＝ ∠ＡＣＤ＝６５°．因为ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＦＣ＝９０°．所以 ∠ＣＡＦ＝１８０°－∠ＡＦＣ－∠ＡＣＦ＝２５°．故选Ｂ． 二、全等三角形的判定“独