专题06 全等三角形常见模型专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题06 全等三角形常见模型专题探究 模型一 K型图 【知识点睛】 · K型图模型总结 图形 条件与结论 辅助线 注意事项 条件：AC=BC,AC⊥BC 结论： △ADC≌△CEB(AAS) 分别过点A、B作AD⊥l, BE⊥l K型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方形结合 K型全等模型变形——三垂定理： 如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS) 总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系 【类题训练】 1．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论． 【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴BD＝CE，故①正确； ∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE， ∴∠BAD+∠BCE＝90°， 即∠BAD与∠BCE互余，故②正确； ∵△ABD≌△BCE， ∴AD＝EB，DB＝CE， ∵BE+D＝DE， ∴AD+CE＝DE，故③正确． 故选：D． 2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　 　． 【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB＝CE，BE＝CF，由点F是CD的中点，可得BE＝CF＝CD＝AB，再由BC＝12，可得AB+AB＝12，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠FEC+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， 在△ABE和△ECF中， ， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AB＝CE，BE＝CF， ∵点F是CD的中点， ∴CF＝CD， ∴BE＝CF＝AB， ∵BE+CE＝BC＝12， ∴AB+AB＝12， ∴AB＝8， 故答案为：8． 3．（2021秋•惠民县月考）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S＝　 　． 【分析】由“AAS”可证△FEA≌△GAB，可得AG＝EF＝8，AF＝BG＝4，同理可得CG＝DH＝6，BG＝CH＝4，由面积和差关系可求解． 【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG， ∴∠EFA＝∠AGB＝∠EAB＝90°， ∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°， ∴∠FEA＝∠BAG， 在△FEA和△GAB中， ， ∴△FEA≌△GAB（AAS）， ∴AG＝EF＝8，AF＝BG＝4， 同理CG＝DH＝6，BG＝CH＝4， ∴FH＝4+8+4+6＝22， ∴梯形EFHD的面积＝×（EF+DH）×FH＝×（8+6）×22＝154， ∴实线所围成的图形的面积S＝154﹣2××4×8﹣2××4×6＝98， 故答案为：98． 3．如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即可证明结论； （2）由（1）同理得△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°． 【解答】解：（1）∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF， 故答案为：相等，垂直； （2）成立，理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DAF＝∠CBD