22.3.2二次函数专项训练（综合类）（2）（7大题型）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

22.3.2二次函数专项训练（综合类）（2） 题型1：综合-线段、周长、面积最值问题 1、已知抛物线 经过点 ，另有一点 ，若点 在抛物线的对称轴上，且 的值最小，求点 的坐标． 【答案】解：如图，连接 与对称轴的交点即为点 ． ∵ 经过点 ，∴ ，∴ ，∴抛物线的解析式为 ，∵ ， ，∴直线 的解析式为 ，∵对称轴 ，∴ ，∴点 坐标 ． 【解析】【分析】连接AC与对称轴的交点即为点D，利用待定系数法将点A、C的坐标代入函数解析式，求出二次函数解析式和直线AC的函数解析式，然后求出点D的坐标。 2．如图已知二次函数 的图象及对称轴，限用无刻度直尺按下列要求作图： （1）在图1中作点 ； （2）已知 ，在图2中的对称轴上作点P，使 最大； 【答案】（1）解：如图：点A是所作的点． （2）解：）点 是所作的点． 【解析】【分析】（1）由题意可知， y轴与二次函数图象的交点和 关于二次函数的对称轴对称，已经确定y轴与二次函数图象的交点的位置，作关于已知点的对称点；（2）当C、A、P三点不在同一直线上时，形成三角形，根据三角形两边之差小于第三边可知， ，当C、A、P三点在同一直线上时， ，则此时的 是最大的． 3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； 【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得： ，解得： ，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得 ，解得 ，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（Ⅱ）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，∴当m= 时，MN有最大值，MN的最大值为 ； 【解析】【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式中列方程组可求得b,c的值，令y=0，解方程可得B点的坐标，利用待定系数法求直线BC的解析式；（2）根据解析式表示出M、N两点的坐标，其纵坐标的差就是MN的长，配方后求得最值即可； 4．如图 ，抛物线与 轴交于 两点、与 轴交于点 . 求抛物线的表达式； 设抛物线上的一个动点 的横坐标 ，求 的面积 关于 的函数关系式，并说明 取何值时， 的面积 取到最大值； 【答案】 设y=a（x+3）（x-1）代入C（0,3）可得a=-1， 即 ； 由点 求得 的解析式为： ， 由题意，点 的坐标为 ， 作 轴于 ，交 于 ，则点 的坐标为 ， ， ， ， 当 时， 的最大值为 ， 【解析】【分析】（1）利用待定系数法（交点式）求出二次函数解析式即可； （2）先求出直线AC的解析式，由点 的坐标为 ，作轴于 ，交 于 ，则点 的坐标为 ，可得出，从而得出，利用二次函数的性质求出结论即可； 5.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10． （1）求抛物线和直线AC的函数表达式； （2）若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； 【答案】（1）解：把A（-1，0），B（3，0）代入， 得，∴， ∴抛物线的函数表达式为； ∵，， ∴AB＝4， 设点D的纵坐标为h， ∵△ABD的面积为10， ∴， ∴h＝5， 把h＝5代入，得， ∴，（舍去）， ∴点D的坐标为（4，5）， 设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b， 把A（-1，0），D（4，5）代入，得 ，∴， ∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1； （2）解：过点E作EF⊥AB交AB于点G，交直线AC于点F，过点C作CH⊥EF于点H． 设点，则F（m，m＋1）， ∴， ∵ = = = = =， ∴ ， ∵， ∴有最大值，当时，△ACE面积的最大值为． 此时，点． 【解析】【分析】（1）先将点A、B的坐标代入求出a、b的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可； （2）过点E作EF⊥AB交AB于点G，交直线AC于点F，过点C作CH⊥E