1.3.2 正方形的判定（课件PPT）-【学海风暴】2022-2023学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

九年级数学北师版·上册 第2课时 正方形的判定 授课人：XXXX 第一章特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 1 新课引入 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 2 知识讲解 问题2：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 五个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 3 动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD. A M N D B C 问题1：上面所画的四边形ABCD是正方形吗？为什么？ 知识讲解 4 知识讲解 想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能剪出一个正方形？ （1） （2） （3） （4） 5 知识讲解 菱形 问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 6 知识讲解 1. 1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 7 知识讲解 例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一组邻边相等得出是菱形；最后由一个直角可得正方形. 45° 45° 8 知识讲解 F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 9 知识讲解 例2：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线交于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC , DE⊥BC , ∴∠DFC=∠DEC=90°. 又∠C=90°, ∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. ∵AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB. ∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF. ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. C E B A F D G 10 强化训练 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠COH =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C B O E H G F 11 强化训练 ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 12 做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 知识讲解 13 有一个角是90° （或对角线相等） 有一组邻边相等 （或对角线互相垂直） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 有一组