1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用（课件PPT）-【学海风暴】2022-2023学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

九年级数学北师版·上册 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 授课人：XXXX 第一章特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 1 问题1: 矩形有哪些性质？ ①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且互相平分. ①定义：有一个角是直角的平行四边形; ②对角线相等的平行四边形; ③有三个角是直角的四边形. 问题2: 矩形的判定方法有哪些？ 复习引入 2 知识讲解 分析：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E， BE ︰ ED=1︰3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长. 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 例1 3 知识讲解 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE ︰ ED=1 ︰ 3， ∴BE ︰ OB=1 ︰ 2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°， ∴AE= AD=3. 点评:此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用. 4 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 例2 知识讲解 5 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形. （1）求证：四边形ADCE为矩形； 分析：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形. 知识讲解 6 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AC=DE，AE=CD． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形. （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状， 并证明； 分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知AC=DE；结合已知条件可以推知AB=DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形. 知识讲解 7 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB. （3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF= AB. 点评:此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用. 知识讲解 8 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比 为3∶1，求 的值． 例3 知识讲解 9 (1)求证：CM＝CN； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， 由折叠知∠CNM＝∠ANM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝CM. 知识讲解 10 (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值． 解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1， ∴CM∶DN＝3∶1， 设DN＝x，则CM＝3x， 过点N作NK⊥BC于点K， ∵DC⊥BC，∴NK∥DC， 又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x， 由(1)知CN＝CM＝3x， ∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2， 　 K 知识讲解 11 1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ） A、100° B、90° C、80° D、70° 2、矩形的一边长为