专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】 【浙教版】 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 1 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 3 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 5 【题型4 勾股定理之方向角问题】 8 【题型5 勾股定理之梯子问题】 12 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 14 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 19 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 22 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 　24　米处折断． 【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解． 【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10 故102+x2＝（50﹣x）2 解得x＝24（米） 故烟囱应从底部向上24米处折断． 故答案为24． 【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．14米 D．16米 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m， ∴BC10（m）， ∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）． 故选：D． 【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度． 【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案． 【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得：BC＝13m，DC＝12m， 故BD5（m）， 即AD＝9m， 则AC15（m）， 故AC+AB＝15+4＝19（m）． 答：这棵树原来的高度是19米． 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 　13　尺． 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即芦苇长13尺． 故答案是：13． 【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m． （1）开始时，船距岸A的距离是 　12　m； （2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 　（12）　m． 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长； （2