专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】 【浙教版】 【题型1 勾股定理的运用】 1 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 5 【题型3 勾股定理解勾股树问题】 7 【题型4 勾股定理解动点问题】 10 【题型5 勾股定理的验证】 14 【题型6 直角三角形的判定】 19 【题型7 勾股数问题】 22 【题型8 格点图中求角的度数】 24 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 27 【知识点1 勾股定理】 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角 边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． 【题型1 勾股定理的运用】 【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5， ∴DE＝CD＝1.5， 在Rt△DEB中，由勾股定理得： BE2， ∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴AC＝AE， 设AC＝AE＝x，则AB＝x+2， 由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2， 即（x+2）2＝x2+42， 解得x＝3， ∴AC＝3． 故选：C． 【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10， ∴BC＝6， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴CD＝AD， ∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8， 设CD＝x，则BD＝8﹣x， 在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2， 即x2＝62+（8﹣x）2， 解得x＝6.25． ∴BD＝8﹣6.25＝1.75． 故选：B． 【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　． 【分析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长． 【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示， ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴CE＝8， ∴AD6， 设∠CAD＝x，则∠CAD＝3x， ∵AE⊥BC，AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝2x， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴DE＝DF， 设CD＝a，则DE＝8﹣a， ∵， ∴， 解得a＝5， 即CD＝5， 故答案为：5． 【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是　 　． 【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC24k，在Rt△ACB中，由AC2+BC2＝AB2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出k，BC＝18，由△ADH≌△BDC，推出AH＝BC＝18，由S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD•PF，推出PE+PF＝AH＝18， 【解答】解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k， 在Rt△DCB中，BC24k， 在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2， ∴（32k）2+（24k）2＝302， ∴k， ∴BC＝18， 在△ADH和△BDC中， ， ∴△ADH≌△BDC， ∴AH＝BC＝18， ∵S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD•PF， ∴PE+PF＝AH＝18， 故答案为18． 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　） A．24或84 B．84 C．48或84 D．48 【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，