专题3.7 全等三角形中的经典模型【六大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专专题3.7 全等三角形中的经典模型【六大题型】 【华东师大版】 【题型1 平移模型】 1 【题型2 轴对称模型】 5 【题型3 旋转模型】 8 【题型4 一线三等角模型】 14 【题型5 倍长中线模型】 20 【题型6 截长补短模型】 26 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【题型1 平移模型】 【例1】（2022•义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：△ACF≌△BDE． 【分析】根据平行线的性质得到∠CAF＝∠DBE，根据SAS证明△ACF≌△BDE即可． 【解答】证明：∵AE＝BF， ∴AE+EF＝BF+EF， 即AF＝BE； ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE， 又∵AC＝BD， 在△ACF与△BDE中， ， ∴△ACF≌△BDE（SAS）． 【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言： 甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D． （1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是　甲、丙　； （2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明． 【分析】（1）加上条件BE＝CF或∠A＝∠D的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF； （2）添加BE＝CF可得BC＝EF，利用SSS判定△ABC≌△DEF即可,添加∠A＝∠D,可用SAS证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：（1）说法正确的是：甲、丙， 故答案为：甲、丙； （2）选甲的做法， 证明：∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 选丙的做法, 在△ABC和△DEF中, , ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1-2】（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 　 　cm． 【分析】连接EF，证明△CEF≌△DFE（ASA），推出DE＝CF，可得结论． 【解答】解：连接EF． 由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC， ∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF， 在△CEF和△DFE中， ， ∴△CEF≌△DFE（ASA）， ∴DE＝CF， ∴AF＝CF＝DE＝3cm ∵E是BC的中点， ∴EC＝EB＝DF＝5.5cm， ∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm． 故答案为：17． 【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【分析】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证． 【解答】解：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD． ∵DE∥AF， ∴∠A＝∠D． 在△AFC和△DEB中，， ∴△AFC≌△DEB（SAS）． 在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵AB＝CD， ∴AB﹣BC＝CD﹣BC， 即AC＝BD， ∵AF∥DE， ∴∠A＝∠D． 在△ACF和△DEB中，， ∴△ACF≌△DEB（SAS）． 【知识点2 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【题型2 轴对称模型】 【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°． （1）求△DBE各内角的度数； （2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理求出∠EBD即可； （2）根据全等三角形的性质得出AC＝BD，求出AB＝CD，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵△ACF≌△DBE，∠A＝50°，∠F＝40°， ∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠F＝40°， ∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°； （