专题3.6 等边三角形【八大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题3.6 等边三角形【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】 1 【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】 5 【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】 11 【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】 17 【题型5 等边三角形的证明】 22 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 27 【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】 31 【题型8 与等边三角形有关的动点问题】 36 【知识点1 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】 【例1】（2022秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角 ①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝　30　°，∠AOC＝　30　°； ②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？ （2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数； （3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，∠HAF＝30°，则∠1＝　20　°． 【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论； （2）根据角的和差即可得到结果； （3）根据等边三角形的性质得到∠DAH＝∠EAF＝∠BAC＝60°，根据角的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠AOB和∠COD都是直角，∠BOC＝60°， ∴∠BOD＝30°，∠AOC＝30°， 故答案为：30，30； （2）∵∠AOB＝∠COD＝80°， ∴∠AOC＝∠BOD（∠AOD﹣∠BOC）， ∵∠AOD＝∠BOC+40°， ∴∠AOC＝20°； （3）∵∠DAH＝∠EAF＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝∠HAF＝30°， ∴∠1＝60°﹣30°﹣10°＝20°． 故答案为：20． 【变式1-1】（2022秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数． 【分析】△ABC是等边三角形的外角是120°，平分后是60°，又由角平分线与角的对边垂直可知所求角是直角三角形内的一个锐角，故而可解得． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且有BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，AC⊥BE， ∴∠ECD＝（180°﹣60°）÷2＝120°÷2＝60°， ∴∠ACE＝60°， 又∵AC⊥BE， ∴∠BEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°． 【变式1-2】（2022秋•太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝　30°　； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝　50°　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　1：2　； （2）猜想证明： 如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE＝2∠DCE，∠ABC＝2∠DBC，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE＝2∠DCE，∠ABC＝2∠DBC，然后整理即可． 【解答】解：（1）如图2，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∠ACE＝120°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE． ∴∠DBC＝30°，∠DCE＝60°， ∵∠DCE＝∠D+∠DBC， ∴∠D＝30°； 如图3，∵△ABC是等腰三角形，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ACE＝140°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE． ∴∠DBC＝20°，∠DCE＝70°， ∵∠DCE＝∠D+∠DBC， ∴∠D＝50°； 故答案为30°，50°，1：2； （2）成立， 如图1，在△ABC中，∠ACE＝∠A+∠ABC， 在△DBC中，∠DCE＝∠D+∠DBC，…（1） ∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC， ∴∠ACE＝2∠DCE，∠ABC＝2∠DBC， 又∵∠ACE＝∠A+∠ABC， ∴2∠DCE＝∠A+2∠DBC，…（2） 由（1）×2﹣