专题2.6 二次根式的乘除（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.6 二次根式的乘除 【典例1】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简　 　． 【思路点拨】 （1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解； （2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解； （3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简． 【解题过程】 解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2， ∵a+b（m+n）2，且a、b、m、n均为整数， ∴a＝m2+5n2，b＝2mn， 故答案为：m2+5n2，2mn； （2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2， ∵x+4（m+n）2， ∴， 又∵x、m、n均为正整数， ∴或， 即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7； （3）原式 ， 故答案为：． 1．（2021春•江夏区校级月考）二次根式：，2，，，，，，，是最简二次根式的有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 根据最简二次根式的定义，同时满足①被开方数不含能开得尽方的因数，②被开方数不含分母，才是最简二次根式，进行选择即可． 【解题过程】 解：的被开方数中含有分母，所以不是最简二次根式； 2，，，符合最简二次根式的定义，所以它们是最简二次根式； ，，二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数和因式，所以它们不是最简二次根式； 分母中含有二次根式，所以不是最简二次根式； 综上所述，上述二次根式中，属于最简二次根式的个数是4个． 故选：C． 2．（2021•罗庄区二模）等式成立的条件是（　　） A．x≠2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠2 D．x＞2 【思路点拨】 根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【解题过程】 解：由题意可得， 解得：x＞2， 故选：D． 3．（2021春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【思路点拨】 根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可． 【解题过程】 解：A.•，因此和不是有理化因式，故选项A不符合题意； B．•a，所以和是有理化因式，因此选项B符合题意； C．（）（）＝﹣（）2，所以和）不是有理化因式，因此选项C不符合题意； D．（xy）•（xy）＝（xy）2，因此xy和xy不是有理化因式，所以选项D不符合题意； 故选：B． 4．（2021秋•顺义区期末）当m＜0时，化简二次根式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据题目的已知可知n＜0，然后进行计算即可． 【解题过程】 解：由题意得： m＜0，n＜0， ∴ •（） ， 故选：D． 5．（2021秋•宝山区校级月考）若a＜0，化简23的结果是（　　） A．（2b﹣3a） B．（﹣2b﹣3a） C．（﹣2b+3a） D．（2b+3a） 【思路点拨】 根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【解题过程】 解：∵a＜0，ab3≥0， ∴b≤0， ∴原式＝2|b|3|a|2b3a（﹣2b+3a）． 故选：C． 6．（2021秋•武穴市期中）化简2ab的结果为（　　） A．b2 B．b2 C．﹣b2 D．﹣b2 【思路点拨】 根据二次根式有意义的条件进行化简即可． 【解题过程】 解：当b＜0，a＞0时， 原式＝2ab ＝b•|b| ＝﹣b2． 当b＞0，a＜0时， 原式＝﹣2ab ＝﹣b•b ＝﹣b2． 故选：C． 7．（2021秋•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【思路点拨】 先化简各式，然后再进行比较即可． 【解题过程】 解：a＝2021×2022﹣20212 ＝2021×（2022﹣2021） ＝2021×1 ＝2021； b＝1013×1008﹣1012×1007 ＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007 ＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012