4.2 对数-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第一册）

4.2 对数 【知识点梳理】 知识点一、对数概念 1．对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2．对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【题型归纳目录】 题型一：对数的定义 题型二：指数式与对数式互化及其应用 题型三：利用对数恒等式化简求值 题型四：积、商、幂的对数 题型五：一类与对数有关方程的求解问题 题型六：对数运算法则的应用 题型七：换底公式的运用 题型八：由已知对数求解未知对数式 题型九：证明常见的对数恒等式 【典型例题】 题型一：对数的定义 例1．（2022·江西省吉水中学高一阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 【方法技巧与总结】 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 例2．（2022·全国·高