第20讲 放缩与数列不等式的证明-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第四章 数列 第20讲 放缩与数列不等式的证明 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.掌握求数列不等式证明的几种方法； 2.掌握常见的放缩的模型 1.放缩不等式的证明 ( 知识精讲 ) 知识点01 简单数列不等式的证明 方法解密: 对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题. 【即学即练1】已知等比数列为递增数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 (1)解：由题意，，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以； (2)解：由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ①② 得， 所以， 又因为，所以， 所以. 【即学即练2】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足． (1)求出，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解析】 (1)由， 得．又， 则数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴， ∴，，…，， 累加得， ∴． 数列满足，① 当时，； 当时，，② 由①－②可得， 当时，也符合上式， 故数列的通项公式为． (2)由（1）可得， 则 ， 故成立． 【即学即练3】已知数列前项和为，若，且成等差数列． (1)求证：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，求证：． 【解析】 (1)，                                         因为成等差数列，所以，                               所以，且，                                      所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2)由（1）知.                                            .                                      一方面，；另一方面，，是递增数列，所以.综上所述，. 总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练