第19讲 五种数列求和方法总结-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第四章 数列 第19讲 五种数列求和方法总结 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.掌握求数列的常见的几种方法； 2.掌握常见的构造法的应用 1.八种构造的适用条件及应用 ( 知识精讲 ) 知识点01 错位相减法 错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列(即)的前项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通项的积. 公式秒杀: (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.) 【即学即练1】设数列的前n项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【解析】 (1)因为． 所以，解得． 当时，， 所以，所以，即． 因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以． (2)由（1）知，所以， 所以…① …② ①-②得 ，所以． 【即学即练2】已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】 (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得：，解得：， 所以， 由得：，所以， 所以 (2)， 则①， ②， 两式相减得： ， 所以 【即学即练3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)设等比数列的公比为，当时，，所以，，无解． 当时，，所以解得，或，（舍）． 所以． (2)．所以①，则②， ①－②得，． 所以． 知识点02 裂项相消法求和 把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项. 常见的裂项形式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) (9) (10) . (11) (12) 【即学即练4】已知正项