第18讲 八种构造法求通项公式(二)-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第四章 数列 第18讲 八种构造法求通项(二) ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.掌握求数列的常见的几种方法； 2.掌握常见的构造法的应用 1.八种构造的适用条件及应用 ( 知识精讲 ) 知识点01 构造法求通项公式 ◆构造四:同型构造法 所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:,构造,则,为常数数列. 模型二:,构造,则,为常数数列. 模型三:,构造,则,为常数数列. 模型四:,构造,则,为等比数列. 模型五:,构造,则,为等比数列. 模型六:,构造,则,为等差数列. 模型七:,构造,则,为等差数列. 模型八:,构造,则,为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将和,和等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列. 【即学即练1】已知数列满足,求. 【解析】 因为,所以令,则,即是常数数列,所以,即. 【即学即练2】已知数列中,且,求数列的通项公式. 【解析】 因为,所以令,则,即是常数数列,所以因此 【即学即练3】已知数列中,且,求数列的通项公式. 【解析】 ,等式两侧同除,形成,令,则,这又回到了构造一的形式,所以,是以2为首项,2为公比的等差数列,即, ,所以,. 【即学即练4】已知,且,求数列的通项公式. 【解析】 等式两侧同除,得,即,,另，所以,接下来就是叠加法发挥作用的时候了 …… 叠加得,,所以，即，. ◆构造五:取倒数构造等差 类型一:数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列满足:,则有. 所以是等差数列. 类型三:若数列的前项和为,且满足,则有,两边同除以得:,故是以为首项,为公差的等差数列,即 ,再用,求. 【即学即练5】在数列中,若,则___________. 【解析】 取倒数得:,即所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以. 【即学即练6】已知数列的前项和为,且满足. (1)求证:是等差数列. (2)求的表达式. 【解析】 (1)因为 ,所以,两边同除以