专题04 函数的性质（1）-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题04 函数的性质（1） 一、真题剖析 1、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ） A． B． C． D． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抽象函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性。 【必备知识】本题考考查函数的奇偶性与周期性的综合应用。 【能力素养】本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索，本题解题的关键是通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 2、【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（       ） A． B． C．0 D．1 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抽象函数为载体，考查函数的周期性。 【必备知识】本题考考查函数的周期性的综合应用。 【能力素养】本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索，本题解题的关键是根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【答案】A 【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选：A． 二、题型选讲 题型一 、 函数的奇偶性 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域． 例1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数是偶函数，则______． 【答案】－1 【解析】 由为偶函数，则 即 即 所以，则，故 故答案为： 变式1、（2022·湖北江岸·高三期末）函数为奇函数，则实数k的取值为___________. 【答案】 【解析】因为为定义域上的奇函数，所以， 即，整理化简有：恒成立， 所以，得，又因为，所以， 且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意. 故答案为： 变式2、(2022·江苏南师附中期中)若a为实数，则“a＝1”是“为奇函数的”( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】a＝1时，为奇函数，充分条件，为奇函数，则a＝±1不必要条件，∴a＝1是f(x)为奇函数的充分不必要条件． 变式3、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ） A．-15 B．-7 C．3 D．15 【答案】A 【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则,解得 因为奇函数当时, 则 故选:A 变式4、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 题型二、函数的单调性 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 例2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 变式1、（2022·江苏海安·高三期末）下列函数在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确； 对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确； 对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单