18 第三章 第二节　第2课时 导数与函数的极值、最值（课件）-2023高考数学【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习（人教版 安徽 云南）

第三章　一元函数的导数及其应用 第二节　导数在研究函数中的应用 第2课时　导数与函数的极值、最值 栏目导引 考点分类突破 栏目 考点分类突破 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 课时作业(十八) 返回 返回 考点一　函数的极值问题 多维型 角度一　由图象判断函数的极值 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(0)为函数的极小值 C．f(x)有两个极小值 D．f(－1)为f(x)的极小值 C　[由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0， ∴f′(x)<0， 当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0， 当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减， 在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增． 故ABD错误，C正确．] eq \a\vs4\al() 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．　　 角度二　求已知函数的极值 已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 解析：因为f(x)＝x2－1－2a ln x(x>0)， 所以f′(x)＝2x－ eq \f(2a,x) ＝ eq \f(2（x2－a）,x) ． ①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值． ②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝ eq \r(a) ，x2＝－ eq \r(a) (舍去)．所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0， eq \r(a) ) eq \r(a) ( eq \r(a) ，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  所以当x＝ eq \r(a) 时，f(x)取得最小值，且f( eq \r(a) )＝( eq \r(a) )2－1－2a ln eq \r(a) ＝a－1－a ln a．无极大值． 综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值． 当a>0时，函数f(x)在x＝ eq \r(a) 处取得极小值a－1－a ln a，无极大值． eq \a\vs4\al() 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，具体如下表： x x<x0 x0 x>x0 f′(x) f′(x)>0 f′(x)＝0 f′(x)<0 f(x) 增 极大值f(x0) 减 x x<x0 x0 x>x0 x x<x0 x0 x>x0 f′(x) f′(x)<0 f′(x)＝0 f′(x)>0 f(x) 减 极小值f(x0) 增 　　[提醒]　对于求解析式中含有参数的函数的极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论．分两个层次讨论：第一层，讨论方程在定义域内是否有根；第二层，在有根的条件下，再讨论根的大小． 角度三　已知函数的极值求参数的值(范围) (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________． (2)已知函数f(x)＝aex－ eq \f(1,2) x2，若f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 解析：(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）＝0，,f（－1）＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,3a－b＋a2＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9，)) 当a＝1，b＝3时， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(x)无极值， 所以a