第一章 第八节用geogebra中的“解常微分方程组”解含隐函数的二阶常微分方程-【手影物理】GeoGebra物理课件制作学习与应用高级教程

第一章 解常微分方程组 第8节 用geogebra中的“解常微分方程组”解含隐函数的二阶常微分方程 Geogebra中“解常微分方程组”在物理上的应用。 Geogebra中的“解常微分方程”指令可以用来解二阶齐次常微分方程，无法运算含有隐函数的二阶常微分方程；此方法是利用geogebra中的“解常微分方程组”求解含隐函数的二阶常微分方程，该方法得到的解并不是方程，而是只能得到一个函数图像，可以从该函数上提取数据，制作物理课件。 “解常微分方程组”指令只能用来解一阶常微分方程组，想要用这个功能来解含有隐函数的二阶常微分方程，首先需要将含有隐函数的二阶常微分方程降阶为一阶常微分方程组。方法如下： 1.型 可以得到以为未知数的一阶常微分方程组： 2.型 可以得到以为未知数的一阶常微分方程组： 以竖直面上的圆周运动为例，介绍一下“解常微分方程组”指令的使用方法。 重力指向圆心方向的分力充当向心力，取向心力与水平方向的夹角为，有，设圆的半径为R，则有，可以得到该运动的微分方程： 令，则 可以将转化为以为未知数的一阶常微分方程组： 下面我们打开geogebra，利用geogebra中的“解常微分方程组”指令来解这个一阶常微分方程组。 1.将我们得到的以为未知数的一阶常微分方程组： 写成geogebra可以识别的形式 2.设定好， 再设定好g和R的值 3.在代数区输入： 在代数区会显示代入了g、R数据后的结果，如图所示。 4.在输入框中键入“解常微分方程组”后，将输入法切换到英文输入模式，系统会自动提示“解常微分方程组”指令的使用方法：解常微分方程组(<导数列表>,<x坐标初值>,<y坐标初值列表>,<x坐标终值>)，如图所示。 “解常微分方程组”指令使用说明： ①“导数列表”中所填必须为导数形式，且导数需要依次排列在列表当中，如果在使用之前并未单独创建列表，可以在此位置用“{ }”创建一个列表，将导数依次填入其中，例如：{} ②“x坐标初值”，“x坐标”指的是我们所输入函数的变量中的第一项，未必真的是“x”，例如：中的t占的就是这个“x”的位置，所以例子中的“x坐标初值”其实就是中t的初始值，我们可以将其设置为0 ③“y坐标初始值列表”，“y坐标”指的不是单一的纵坐标，而是指我们输入函数的变量中从第二项往后的所有变量，例如：在中，“y坐标”指的是，所以我们需要在“y坐标初始值列表”中以列表的形式依次输入的初始值， ④“x坐标终值”指我们所输入函数的自变量中的第一项的最大值，例如：在中t的最大值要填在这个位置 按照提示，将指令补充完整，一定要依次输入“y坐标”所表示的各个变量，例如： 解常微分方程组 5.得到的结果如图所示，所得是变量“y坐标”关于“x坐标”的轨迹，所输入的列表当中有几个“y坐标”就会得到几个轨迹。例如：我们所输入的解常微分方程组中“x坐标”填的是时间t的初末值，“y坐标”有两个，分别是，所以我们得到的两个轨迹分别是 在上图中，numericalletegral1即为角度关于时间的函数图像，Numericalletegral2即为角速度关于时间的函数图像。为了在引用时便于输入，可以将他们重命名为和 6.函数图像的纵坐标就是我们需要的角度值，建立控制时间t的滑动条，因为时间t在下面的操作当中会被当作路径值使用，所以将其范围设置为[0,1]，为了让图像看起来是连续变化的，可以将增量设置的小一些。 在输入框中输入：描点(,)，在函数图像建立随时间t变化的动点A，该动点的纵坐标即为时间t对应的角度值，可以用=将其提取出来。 在绘图区建立动点B作为圆周运动的圆心，则时的动点C的位置为B+（0，R），在输入栏键入：旋转，令点C绕圆心B旋转，即可得到一个竖直面内做圆周运动的动点 例2：雨滴低速下落时，雨滴所受阻力与速度成正比，即：f=kv 由mg-kv=ma得其动力学方程为： 令，则有 写成geogebra可识别的形式 将其输入到geogebra的代数区，各种固定数值会自动生成滑动条 在输入框中键入：解常微分方程组，x0、v0会自动生成滑动条，需要调整时可以在其属性中调整 得到的两个轨迹中的numericalIntegral1即为所需的x-t图像，建立一个代表时间t的滑动条，使其取值范围在[0,1]，将时间t当做路径值，在numericalIntegral1上建立一个点A（在输入框中键入：A=描点（numericalIntegral1，t）），取数值H=y(A)为numericalIntegral1上t对应的纵坐标。在作图区任取一点B，做点C=B+（0，-H），点C即为雨滴低速下落时的模拟动画。 最后，我们来总结一下利用geogebra中的“解常微分方程组”解二阶常微分方程的方法 1.将二阶的动力学微分方程转换为geoge