第二章第十六节 运算区解常微分方程—雨滴下落的动力学分析-【手影物理】GeoGebra物理课件制作学习与应用教程

Geogebra制作物理课件 第二章 课件美化 第十六节 运算区解常微分方程—雨滴下落的动力学分析 雨滴下落速度是指雨滴在空气中的下降末速度，下降的雨滴受到重力和空气阻力的作用，通过查阅资料我们知道： 雨滴速度较小时，受到的阻力与速度成正比 雨滴速度较大时，受到的阻力与速度平方成正比 其中k是比例系数，v是速度，C是阻力系数，A是雨滴有效截面积，ρ是空气密度 根据不同阶段主要阻力不同，分阶段得到雨滴速度的表达式，比较大小雨滴在近地面时的速度大小。 第一阶段，雨滴仅受竖直向下的重力和向上的阻力作用，得到运动学方程： 从中可知当达到平衡时，即雨滴开始做匀速运动时， 但是该最大值能否达到还不确定，也许在达到该最大值前，该表达式已经不能很好的描述所受阻力。 写成微分方程形式得： 解该方程，并带入初始条件：t=0,v=0， 得到： 根据第一阶段速度表达式，我们可以估计雨滴在高空时的速度变化规律。如果我们知道第一阶段持续的高度，那么可以估算雨滴在第一阶段所经历的时间。 第二阶段，假设雨滴在下落的过程中，保持球形的形态不变，则 此时雨滴受到重力和阻力的作用，得到动力学方程： 当a=0时，雨滴匀速运动，速度达到最大速度，我们近似认为接近地面时的速度为： 所以由上式我们知道，雨滴半径越大，其在接近地面时的速度越大，即大雨滴比小雨滴在近地面时下落更快。 以微分方程来表示得到： 求解得到： 将 代入得 其中c1是由雨滴进入第二阶段的速度所确定的，由于结果过于复杂，我们可以在下一行中输入该结果，得到： 通过 我们可以了解雨滴在近地面时的下落情况。 我们可以通过测量估算出上面的c1，从而可以模拟雨滴近地面时下落情况。 进一步分析， 通过查阅资料，我知道：积雨云层的高度通常在300~500米之间，实际上，物体在空气中运动时受到阻力和物体本身的形状，大小，空气密度、特别是和物体的运动速率有关。大体来说，物体速率较小时，可认为空气阻力与物体速率的一次方成正比；当速率大于某一幅度并低于200m/s时，可认为空气阻力与物体运动速率的平方成正比；速率达到400~600m/s时，空气阻力和速率的三次方成正比；速率很大时，阻力速率很大时，阻力与速率更高次方成正比。物体运动的速率越小，抛体运动越接近于理想状态。 通过以上资料，我们可以更加准确地划分出受力分析过程当中两个过程的分界线，即我们可以得到阻力具体适用的高度，以此得到对应的速率的变化表达式。 通过对低速和高速运动时的二阶微分方程的求解，我们可以知道雨滴位移与时间的关系： 低速阶段的位移与时间关系： 高速阶段的位移与时间关系： 将19中的结果输入第20行，可以得到 有了位移和时间的关系，就可以制作模拟雨滴下落的课件了，同学们快去动手亲自操作一下吧。 $