第10讲 函数的单调性-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

函数的单调性 【知识梳理】 1.函数的单调性 设函数的定义域为A，区间， 如果对于区间I内的任意两个值，当时， 都有, 那么称函数在这个区间I上是增函数，I称为的增区间； 如果对于区间I内的任意两个值，当时， 当时，都有, 那么称函数在这个区间I上是减函数，I称为的减区间. 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间. 注：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接 3.性质 (1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； (2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； (3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 4.函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)性质法； (4)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数. 5.利用定义证明函数单调性的步骤 6.函数的最大（小）值 一般地，设函数的定义域为， 如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为； 如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为. 【典型例题】 考点一：定义法求单调性 例1：求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解. 【解析】证明：在区间上任取， 则 因为，故可得；又因为，故可得. 故，即.故在区间上单调递增. 例2：证明在其定义域上是增函数. 【答案】证明见解析； 【解析】证明：函数的定义域为设且， 因为，所以，所以，即 所以在其定义域上是增函数. 例3：（多选）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可． 【详解】由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数， 则与同号，由此可知，选项A，B正确； 对于选项C，D，因为的大小关系无法判断，