4.1 指数-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第一册）

4．1 指数 【知识点梳理】 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1．次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2．两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2．指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【题型归纳目录】 题型一：由根式的意义求范围 题型二：利用根式的性质化简或求值 题型三：有限制条件的根式的化简 题型四：根式与指数幂的互化 题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 题型六：整体代换法求分数指数幂 【典型例题】 题型一：由根式的意义求范围 例1．（2022·全国·高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，要使得有意义，则满足，解得， 即实数的取值范围为． 故选：B． 例2．（2022·全国·高一专题练习）二次根式成立的条件是_________ 【答案】 【解析】二次根式，所以. 故答案为： 例3．（2022·江苏·高一专题练习），则实数a的