(学案)第2章第2讲 函数的单调性与最值-2023年新高考数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)

衡中学案·2023 年度创新设计·新教材 (6)解法一:绝对值不等式法: 由于 | x + 1 | + | x - 2 |≥ | (x + 1) - (x - 2) | = 3, 所以函数值域为[3, + ∞ ). 解法二:数形结合法: y = - 2x + 1(x < - 1), 3( - 1≤x≤2), 2x - 1(x > 2). { 画出此分段函数的图象如图,可知值域为[3, +∞). 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 求函数值域的一般方法 (1)分离常数法:形如 y = cx +dax +b(a≠0)的函数;如例3(1). (2)反解法:形如 y = cf(x) + daf(x) + b(a≠0,f(x)值域易求) 的函数;如例 3(1). (3)配方法:形如 y = af 2( x) + bf( x) + c( a≠0)的函 数;如例 3(2). (4)不等式法;如例 3(3). (5)单调性法:通过研究函数单调性,求出最值,进而 确定值域. (6)换元法:形如 y = ax + b ± cx + d(c≠0)的函数;如 例3(4);形如 y = ax + b ± c2 - x2 (c≠0)的函数采 用三角换元,如例 3(5). (7)数形结合法:借助函数图象确定函数的值域,如例 3(6). (8)导数法. 〔变式训练 4〕 　 求下列函数的值域: (1)y = 2 x - 1 2x + 1 ; (2)y = log 1 2 x + 1 2x ,x∈[1,2); (3)y = x + 4 1 - x; (4)y = x 2 - x + 2 x - 1 (x > 1) . 温馨提示:复习至此,请完成练案[7] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二讲　 函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的单调性 1. 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1 < x2 时,都有　 　 　 　 　 　 　 ,那么就说函数 f(x) 在 区 间 D 上 是 增 函数 当 x1 < x2 时, 都 有 　 　 　 　 　 　 　 ,那么 就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 　 　 　 　 　 　 自左 向 右 看 图 象 是 　 　 　 　 　 　 　 　 2. 单调区间的定义 如果函数 y = f(x)在区间 D 上是 　 　 　 　 　 　 , 那么就说函数 y = f(x)在这一区间具有(严格的)单调 性,　 　 　 　 叫做函数 y = f(x)的单调区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 026 高考一轮总复习·数学 知识点二　 函数的最值 前提 设函数 y = f( x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意 x∈ I,都有 　 　 　 　 ; (2)存在 x0∈I,使得　 　 　 　 　 　 (1)对于任意 x∈I,都 有　 　 　 　 ; (2 ) 存 在 x0 ∈ I, 使 得　 　 　 　 结论 M 为最大值 M 为最小值 归 纳 拓 展 1. 复合函数的单调性 函数 y = f(u),u = φ(x),在函数 y = f[φ(x)]的定义 域上,如果 y = f(u),u = φ(x)的单调性相同,则 y = f[φ(x)]单调递增;如果 y = f(u),u = φ(x)的单调性 相反,则 y = f[φ(x)]单调递减. 2. 单调性定义的等价形式 设任意 x1,x2∈[a,b],x1≠x2 . (1) 若 有 ( x1 - x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 )] > 0 或 f(x1) - f(x2) x1 - x2 > 0,则 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上是增 函数. (2) 若 有 ( x1 - x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 )] < 0 或 f(x1) - f(x2) x1 - x2 < 0,则