(学案)第1章第6讲 基本不等式-2023年新高考数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)

衡中学案·2023 年度创新设计·新教材 第六讲　 基本不等式 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 重要不等式 a2 + b2≥　 　 　 　 (a,b∈R)(当且仅当　 　 　 　 时等号成立) . 知识点二　 基本不等式 ab≤a + b2 (均值定理) (1)基本不等式成立的条件:　 　 　 　 ; (2)等号成立的条件:当且仅当 　 　 　 　 时等号 成立; (3)其中a + b2 叫做正数 a,b 的　 　 　 　 , ab叫做 正数 a,b 的　 　 　 　 . 知识点三　 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x,y∈(0, + ∞ ),且 xy = P(定值), 那么当 　 　 　 　 时,x + y 有最小值 2 P. (简 记:“积定和最小” ) (2)如果 x,y∈(0, + ∞ ),且 x + y = S(定值), 那么当 x = y 时,xy 有最大值S 2 4 . (简记:“和定积 最大”) 归 纳 拓 展 　 常用的几个重要不等式 (1)a + b≥2 ab(a > 0,b > 0) . (当且仅当 a = b 时 取等号) (2)ab≤ a + b2( ) 2 ( a,b∈R) . (当且仅当 a = b 时取 等号) (3) a + b2( ) 2 ≤a 2 + b2 2 (a,b∈R) . (当且仅当 a = b 时 取等号) (4) ba + a b ≥2( a,b 同号) . (当且仅当 a = b 时取 等号) . (5) 21 a + 1 b ≤ ab≤a + b2 ≤ a2 + b2 2 (a,b > 0 当且仅 当a = b时取等号) . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)不等式 a2 + b2≥2ab 与a + b2 ≥ ab有相同的成立 条件. ( 　 　 ) (2)(a + b) 2≥4ab(a,b∈R) . ( 　 　 ) (3)y = x + 1x 的最小值是 2. ( 　 　 ) (4)函数 f(x) = cos x + 4cos x,x∈ 0, π 2( )的最小值等 于 4. ( 　 　 ) (5)若 a > 0,则 a3 + 1 a2 的最小值为 2 a. ( 　 　 ) (6)“x >0 且 y >0”是“ xy + y x ≥2”的充要条件. ( 　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 1P46T3 改编)若 x > 0,y > 0,且 x + y = 18,则 xy的最大值为 ( 　 　 ) A. 9 B. 18 C. 36 D. 81 3. (必修 1P48习题 T1 改编)若 x < 0,则 x + 1 x ( 　 　 ) A. 有最小值,且最小值为 2 B. 有最大值,且最大值为 2 C. 有最小值,且最小值为 - 2 D. 有最大值,且最大值为 - 2 4. (必修 1P48练习 T2 改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成 一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是　 　 　 　 m2 . 题组三　 走向高考 5. (2019·天津,13)设 x >0,y >0,x +2y =4,则(x +1)(2y +1)xy 的最小值为　 　 　 　 . 6. (2020·江苏,12,5 分)已知 5x2y2 + y4 = 1(x,y∈R), 则x2 + y2的最小值是　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 018 高考一轮总复习·数学 考点突破·互动探究 KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 基本不等式的应用———多维探究 角度 1　 配凑法 例 1 (1)已知 0 < x < 1,则 x(3 - 2x)的最大值 为　 　 　 　 . (2)已知 x > 54 ,则 f(x) = 4x - 2 + 1 4x - 5的最小值 为　 　 　 　 . (3) (2021·沈阳模拟) 若 0 <