(学案)第1章第4讲 不等关系与不等式-2023年新高考数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)

练案[3] A 组基础巩固 1. C　 因为 log21 = 0,cos 0 = 1,所以 A、B 均为真命题,02 = 0,C 为假命题, 2x > 0,选项 D 为真命题. 2. C　 命题 p:“∀x > 1,x2 - 1 > 0”,则􀱑 p 为:∃x0 > 1,x20 - 1≤0. 3. D　 由特称命题的否定可得􀱑 p 为“∀m∈R,f( x) = 2x - mx 不是增函 数” . 故选 D. 4. B　 对于 A,2 是素数,但 2 不是奇数,A 假;对于 B,∀x∈R,总有 x2≥0, 则 x2 + 1≥0 恒成立,B 真;对于 C, π是无理数,( π) 2 = π 还是无理数, C 假;对于 D,1∈Z,但 11 = 1∈Z 假,故选 B. 5. D　 命题 p 的否定是把 “∀” 改成 “∃”,再把 “ 12( ) x ≤ 12 ” 改为 “ 12( ) x0 > 12 ”即可,故选 D. 6. C　 当 x∈ π4 , π 2( )时,sin x < 1,tan x > 1. 此时 sin x - tan x < 0,故命题 p 为真命题. 由于命题 p 为特称命题,所以命题 p 的否定为全称命题, 则􀱑 p 为:∀x∈ 0, π2( ),f(x)≥0. 7. D　 因为命题“∃x0∈R,4x20 + (a - 2) x0 + 1 4 ≤0”是假命题,所以其否 定“∀x∈R,4x2 + (a - 2)x + 14 > 0”是真命题,则 Δ = (a - 2) 2 - 4 × 4 × 1 4 = a 2 - 4a < 0,解得0 < a < 4,故选 D. 8. AC　 对于 A,∀x∈Z 其个位数字是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 平方后个位 数字是 0,1,4,5,6,9 不能为 3,故不正确. 对于选项 B,令 y = 32,则 y3 = (32) 3 = 2 是有理数,故错误. 对于选项 C,令 x = 0,则 x2 + 1 = 1∈N,故正确. 对于选项 D,当 x 为奇数时,设 x = 2k + 1,k∈Z,则 x2 + 1 = 1 + 4k2 + 4k + 2 = 4 k2 + k + 12( ),由于 k∈Z,故 k 2 + k + 12 ∉Z,故 x 2 + 1 不是 4 的倍 数,当 x 为偶数时,设 x = 2k,x2 + 1 是奇数,不是 4 的倍数,故错误;因此 选 A、C. 9. ABD　 对于 A,由对数的运算性质可知,∃x,y∈(0, + ∞ ),lg xy = lg x - lg y,故正确;对于 B,b2 - 4ac = 1 - 4 = - 3 < 0,故正确:对于 C,当 x = - 1 时,2 - 1 > 3 - 1,故错误;对于 D,由同底数幂乘积可得 x = y = 2 时,2x ·2y = 2xy,故正确. 故选 A、B、D. 10. BC　 对于 A,设 f(x) = 2x - 1x ,x∈(0,1),因为f′(x) = 2 x ln 2 + 1 x2 > 0, 所以 f(x)在(0,1)上单调递增,而 f 12( ) = 2 - 2 < 0, f(1) = 1 > 0, ∴ f 12( )f(1) < 0,即∃x0∈(0,1),使得 f(x0) = 0,即 2 x0 = 1x0 ,A 正确; 对于 B,“∀x∈R,x2 + x - 1 > 0”的否定是“∃x0 ∈R,x20 + x0 - 1≤0”, B 不正确. 11. ∃k > 0,方程 x2 + x - k = 0 无实根　 全称命题的否定是特称命题, 命题“∀k > 0,方程 x2 + x - k = 0 有实根”的否定为:∃k > 0,方程 x2 + x - k = 0 无实根. 12. ③　 当 x = 10 时,lg 10 = 1,则①为真命题; 当 x = 0 时,sin 0 = 0,则②为真命题; 当 x < 0 时,x3 < 0,则③为假命题; 由指数函数的性质知,∀x1 > x2,2x1 > 2x2,则④为真命题. 13. ( - ∞ , - 1] 　 由题意,对∀x∈R,a≤sin x 成立. 由于对∀x∈R, - 1≤ sin x≤1,所以 a≤ - 1. 14. f(x) = sin x,x∈[0,2](答案不唯一,再如 f( x) = 0,x = 0, 1 x ,0 < x≤2 { ) 　 根 据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满 足在定义域内有唯一的最小值点,且 f(x)min = f(0) . B 组能力提升 1. B　 因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“∃n0∈N∗,f(n0)∈N∗, 且 f(n0)≤n0”的否定形式