专题03 均值不等式基础方法15类总结-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题3 均值不等式基础方法15类总结 目录 一、热点题型归纳 【题型一】对勾型 2 【题型二】 添加常数构造“对勾型” 3 【题型三】“和定求积”型 5 【题型四】“积定求和”型 6 【题型五】单元（单变量）分离常数型 7 【题型六】“常数”因子法： 8 【题型七】“单分母”构造因子法 9 【题型八】“双分母”构造法 11 【题型九】有和有积无常数型 12 【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 14 【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型 15 【题型十二】多元分离型 16 【题型十三】反解消元型 18 【题型十四】换元型 19 【题型十五】较简单的三元均值 21 培优第一阶——基础过关练 23 培优第二阶——能力提升练 27 培优第三阶——培优拔尖练 30 知识点综述： 1. 基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； 2.常用不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 4.重要不等式链：≥ ≥≥； 【题型一】对勾型 【典例分析】 （2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【答案】B 【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即. 故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 对勾型：， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 1. 2. 【变式训练】 1.（2022·全国·高一专题练习）若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出结果. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 2.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C 【题型二】 添加常数构造“对勾型” 【典例分析】 （2022·吉林延边·高一期末）已知，则函数的最小值是（       ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴函数最小值为.故选：D. 【提分秘籍】 基本规律 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 【变式训练】 1.．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若在处取得最小值，则（       ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 2.（2022·全国·高一课时练习）若实数，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将原式变形为，然后利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】因为， 取等号时且，即，所以的最小值为， 故选：B. 3.（2021·江苏·高一专题练习）设，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解 【详解】， ， ， 当且仅当， 即时取等号 故选：A 【题型三】“和定求积”型 【典例分析】 （2022·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为（       ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值 【详解】因为所以，从而． 当且仅当时等号成立. 故选：B 【提分秘籍】 基本规律 如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大) 【变式训练】 1.（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）若，则当取得最大值时，x的值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当时取“=”. 故选：D. 2.．（2021·全国·高一课时练习）若，，，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵，，∴，， ∴， 当且仅当时，取“=”，故选：D． 3.（202