专题3.5 等腰三角形【八大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题3.5 等腰三角形【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】 1 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】 5 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】 8 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 15 【题型5 等腰三角形的证明】 18 【题型6 等腰三角形中的新定义问题】 24 【题型7 等腰三角形中的规律问题】 27 【题型8 等腰三角形中的动点问题】 29 【知识点1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】 【例1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， ∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°． 故选：D． 【变式1-1】（2022秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，可得∠ABC＝2x+y，根据MN＝BN，有∠BMN＝∠MBN＝y，故∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，又AB＝AC，得∠C＝∠ABC＝2x+y，根据∠A+∠ABC+∠C＝180°，得（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得x+y＝60°，故∠MBC＝60°． 【解答】解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y， ∴∠ABC＝2x+y， ∵MN＝BN， ∴∠BMN＝∠MBN＝y， ∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x+y， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°， ∴3x+3y＝180°， ∴x+y＝60°， ∴∠CBN+∠MBN＝60°， 即∠MBC＝60°， 故选：D． 【变式1-2】（2022春•柯桥区期末）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（　　） A．β＝90°α B．β＝180°α C．β D．β＝120°α 【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式． 【解答】解：当点D在线段BC上， ∵∠ABC＝α，CA＝AB， ∴∠C＝∠ABC＝α， ∵CD＝CA， ∴∠ADC＝∠CAD90°α， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴90°α＝α+β， 即β＝90°α； 当点D在线段BC的延长线上， 同理可得：β＝180°α； 当点D在线段CB的延长线上， 同理可得：βα﹣90°． 故选：D． 【变式1-3】（2022春•抚州期末）已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为 　60°或30°或15°　． 【分析】如图1，当PA＝PB时，如图2，当AB＝AP时，如图3，当BA＝BP时，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，以及等腰三角形的性质分类进行讨论即可求解． 【解答】解：如图1，当PA＝PB时， ∵∠ABC＝30°， ∴∠BAP＝30°， ∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D， ∴AB＝AD，∠DAP＝∠BAP＝30°， ∴∠BAD＝30°+30°＝60°， ∴∠ABD＝60°； 如图2，当AB＝AP时， ∵∠ABC＝30°， ∴∠APB＝30°， ∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D， ∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA＝30°， ∴∠BPD＝30°+30°＝60°， ∴∠PBD＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°； 如