专题3.4 角的平分线的性质【七大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题3.4 角的平分线的性质【七大题型】 【华东师大版】 【题型1 作已知角的角平分线】 1 【题型2 角平分线的性质的应用】 5 【题型3 角平分线的性质与等积法】 9 【题型4 角平分线的性质与全等】 12 【题型5 角平分线的判定】 18 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 21 【题型7 角平分线的实际应用】 24 【知识点1 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 【题型1 作已知角的角平分线】 【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得0分，三个点分别用字母C、D、E表示） 【分析】作出∠AOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可． 【解答】解：如图所示， ①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E； ②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于点F； ③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求． 本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示． 【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题； 【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小． 由作图可知：AE平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DP⊥AB， ∴DP＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故选：A． 【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数． 【解答】解：由作法得BP平分∠ABN， ∴∠PBN∠ABN140°＝70°， ∵OG平分∠MON， ∴∠BOP∠MON50°＝25°， ∵∠PBN＝∠POB+∠OPB， ∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°． 故选：B． 【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上． （1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法） （2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝　22°　． 【分析】（1）作∠ADE＝∠C即可； （2）由平行线的性质和角平分线定义证出∠DEC＝∠DCE，得出DC＝DE，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示： 作∠ADE＝∠C交AB于E，DE即为所求； （2）如图2所示： ∵DE∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵EC平分∠ACB， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DC＝DE， ∴△DEC是等腰三角形， ∴∠DEC＝∠C＝22°； 故答案为：22°． 【知识点2 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【题型2 角平分线的性质的应用】 【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　） A．54° B．50° C．48° D．46° 【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD（∠CBE﹣∠BAC）∠ACB． 【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DF＝DE， 又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝4