专题3.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题3.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】 【华东师大版】 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】 1 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 6 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 10 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】 13 【题型5 线段垂直平分线的判定】 17 【题型6 线段垂直平分线的作法】 20 【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】 23 【知识点1 线段垂直平分线的性质】 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】 【例1】（2022秋•南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　6　． 【分析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE＝PF，PB＝PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案． 【解答】解：连接PB，PC， ∵点P在BC的垂直平分线上， ∴PB＝PC， ∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°， ∴∠APE＝∠APF， ∴AE＝AF， 在Rt△PBE和Rt△PCF中， ， ∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL）， ∴BE＝CF， ∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF， ∴AB＝AC+CF+BE， ∵AB＝8，AC＝4， ∴BE＝CF＝2， ∴AE＝AC+CF＝6． 故答案为：6． 【变式1-1】（2022秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E． （1）判断△DBC的形状并证明你的结论． （2）求证：BF＝AC． （3）试说明CEBF． 【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形， 理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝45°， ∴BD＝CD， ∴△DBC是等腰直角三角形； （2）∵BE⊥AC， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠DBF＝∠ACD， 在△BDF与△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA， ∴BF＝AC； （3）∵BE是AC的垂直平分线， ∴CEAC， ∴CEBF． 【变式1-2】（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由． 【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下： 连接BD，延长BF交DE于点G． ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝22.5°． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°， ∴∠ABC＝67.5°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴BC＝DC． 在△ECD和△FCB中， ， ∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS）， ∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB． ∵∠CFB+∠CBF＝90°， ∴∠CED+∠CBF＝90°， ∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF． 【变式1-3】（2022秋•海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°． （1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB； （2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【分析】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD＝CD，又由∠ADB＝60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论； （2）首先在DB上截取DE＝AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论． 【解答】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝