2.2.3直线的一般式方程-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 2.2.3 直线的一般式方程 问题引入 观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于，的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题. l 思考1： (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ 新知探索 先看问题(1).任意一条直线，在其上任取一点，当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为，这是关于，的二元一次方程. 当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为，上述方程可以认为是关于的二元一次方程，因此此时方程中的系数为0. 方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示. 新知探索 反之，对于任意一个二元一次方程(，不同时为0)，如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线. 当时，，方程可变形为，它表示过点，且垂直于轴的直线. 新知探索 由上可知，关于的二元一次方程都表示一条直线. 我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 注：直线的一般式适用于所有直线. 新知探索 辨析1.斜率为，且在轴上截距为的直线的一般式方程是( ). A. B. C. D. 答案：C. 辨析2.在直角坐标系中，直线的倾斜角是( ). A. B. C. D. 答案：C. 新知探索 问题1： 在方程中，为何值时，方程表示的直线： ①平行于轴？②平行于轴？③与轴重合？④与轴重合？ ①此时， ②此时不存在， ③，此时 ④，此时不存在， 例析 例5.已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点，斜率为的直线的 点斜式方程是， 化为一般式，得. 例析 例6.把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形. 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中，令，得， 即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作