第四章 4.5.1 函数的零点与方程的解（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4.5.1　函数的零点与方程的解 [对应学生用书P124] 1．函数的零点(求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到) (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： (1)函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)； (2)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内． [微练1]　(1)(多选) 下列各图象表示的函数中有零点的是( ABC ) (2)函数f(x)＝x2－1的零点是±1． 2．函数零点存在定理(定理中的条件仅是函数存在零点的充分不必要条件) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． [微练2]　(1)判断正误． ①若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)内一定没有零点．( × ) ②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上，则“f(a)·f(b)<0”是“函数f(x)在(a，b)上有零点”的既不充分也不必要条件.( √ ) ③设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1，1)内有零点．( × ) (2)(多选) 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是( ABC ) x 1 2 3 5 f(x) 3 －1 2 0 A．(1，2)　　　　　　　　　 B．[1，3] C．[2，5) D．(3，5) [对应学生用书P125] 知识点一 求函数的零点 　(1)函数f(x)＝的零点是(　　) A．　　　　　　　　　　 B．1 C．和1 D．0和1 B　解析：当x≤1时，由2x－2＝0得x＝1； 当x>1时，由2＋log2 x＝0得x＝(舍去). 所以f(x)的零点是1.故选B． (2)函数f(x)＝2x＋x－1的零点为________． 0　解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋1的图象，如图所示，由图可知函数f(x)的零点为0. [探究]　 将本例的题设改为：已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，则函数g(x)＝bx2＋ax的零点是________． 0和－　解析：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3A． 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)的零点为0和－. 函数零点的求法 代数法 求方程f(x)＝0的实数根 几何法 对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点 (1)函数f(x)＝x2－3x－4的零点是(　　) A．0，－1 B． 0，4 C．1，－4 D．－1，4 D　解析：由f(x)＝x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4.所以函数f(x)的零点是－1和4.故选D． (2)已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则函数y＝logn(mx＋1)的零点是________． 0　解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2， 所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数根， 所以 解得 所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)， 令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0. 所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0. 知识点二 函数零点(方程根)所在的区间问题 命题角度1　判断函数零点(方程根)所在的区间 　(2021·广东广州越秀区高一上期末)函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　) A． B． C． D． C　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线， 且f(1)＝－1<0，f＝ln >0， 由函数零点存在定理可知，函数f(x)在上存在零点．故选C． 命题角度2　由函数零点所在区间求参数范围 　函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B． (1，2) C．(0，3) D．(0，2) C　解析：易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内是增函数，因为函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内， 所以所以0<a<3，故选C． 判断函数零点所在区间的三个步骤 步骤1