第一章 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [对应学生用书P26] 全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题 [微练]　(1)判断正误． ①命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题．( × ) ②若命题¬p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题．( √ ) ③“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．( √ ) ④“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．( √ ) (2)命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是对任意x∈R，2x>0． (3)命题“∀x>2，x－2>0”的否定是∃x>2，x－2≤0． [对应学生用书P26] 知识点一 全称量词命题的否定 　写出下列全称量词命题的否定． (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)∀x∈R，＝x； (3)任何一个平行四边形的对边都平行； (4)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． 解：(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”． (2)“∀x∈R，＝x”的否定是“∃x∈R，使≠x”． (3)“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定是“存在一个平行四边形，它的对边不都平行”． (4)“∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解”的否定是“∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在”． 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x). (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 写出下列全称量词命题的否定． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形． 解：(1)命题p的否定为∃x∈R，x2－x＋<0. (2)命题q的否定为存在一个正方形不是矩形． 知识点二 存在量词命题的否定 　写出下列存在量词命题的否定． (1)某箱产品中至少有一件次品； (2)方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数； (3)∃x∈R，使x2＋x＋1≤0； (4)∃x>1，使x2－2x－3＝0. 解：(1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”． (2)“方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数”的否定是“方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数”． (3)“∃x∈R，使x2＋x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，有x2＋x＋1>0”． (4)“∃x>1，使x2－2x－3＝0”的否定是“∀x>1，x2－2x－3≠0”． 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 写出下列存在量词命题的否定． (1)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (2)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0. 知识点三 利用命题的否定求参数 　若“∃x∈R，ax2－2ax－1≥0”为假命题，求实数a的取值范围． 解：“∃x∈R，ax2－2ax－1≥0”为假命题，等价于“∀x∈R，ax2－2ax－1<0”为真命题，等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1<0恒成立． 当a＝0时，不等式显然成立； 当a≠0时，有Δ＝4a2＋4a<0且a<0，解得－1<a<0. 综上，实数a的取值范围是{a|－1<a≤0}． [探究]　 若将本例中的“∃x∈R，ax2－2ax－1≥0”改为“∃x∈R，2x2＋(a－1)x＋≤0”，其他条件不变，结果如何呢？ 解：由题意可得“∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a<3，即实数a的取值范围是{a|－1<a<3}． 根据命题p与¬p的真假性相反，可将命题转化为其等价命题，以达到正难则反的解题目的． 已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若¬p为假命题，求实数m的取值范围． 解：因为¬p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}． [对应学生用书P28] 1．(2020·淄博实验中学高一第一次诊断)命题“对任意x∈R，都有x2－x>0”的否定为(　　)