第一章 1.5.1 全称量词与存在量词（word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5.1　全称量词与存在量词 [对应学生用书P23] 1．全称量词(要记准概念中的关键词语，还要记住专用符号)与全称量词命题 全称 量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量 词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围) 符号表示 ∀x∈M，p(x) [微练1]　判断下列哪个语句既是命题又是全称量词命题． (1)对任意实数x，x2＋1≥2； (2)有一个实数a，a不能取对数； (3)每一个向量都有方向吗？ 解：(1)(2)是命题，(3)不是命题．其中(1)中含有全称量词，所以是全称量词命题． 2．存在量词(在存在量词命题中，量词不可以省略)与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围) 符号表示 ∃x∈M，p(x) [微练2]　(1)判断正误． ①“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．( √ ) ②存在量词命题“∃x∈R，x2<0”是真命题．( × ) ③“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √ ) ④∀x∈R，x2＋1≥1是真命题．( √ ) (2)(多选)下列语句中，是存在量词命题的有( BD ) A．菱形的四条边相等 B．至少有一个负整数是奇数 C．所有有理数都是实数 D．有一个奇数不能被3整除 [对应学生用书P24] 知识点一 全称量词命题与存在量词命题的判断 　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述． (1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形． 解：(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1}，3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形． 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|. 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． 知识点二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 　判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (3)∀x∈N，x2>0. 解：(1)0∈Z且0<1，故命题为真命题． (2)在平面直角坐标系中，有序实数对(x，y)与点是一一对应的，故命题为真命题． (3)0∈N，且x2＝0，故命题为假命题． 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假． (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可． 判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋1≥2； (2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点； (3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6. 解：(1)当x＝0时，x2＋1＝1<2，故命题为假命题． (2)直线y＝1与x轴没有交点，故命题为假命题． (3)当x＝y＝1时，2x＋4y＝6，故命题为真命题． 知识点三 全称量词命题与存在量词命题的应用 　已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围． 解：由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.故实数m的取值范围是{m|m≥3}． [探究]　 若将本例中的“对