第一章 1.4.2 充要条件（word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 [对应学生用书P20] 充要条件(对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等) (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． [微练]　(1)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． [对应学生用书P20] 知识点一 充要条件的判断 　(1)判断下列哪些命题中p是q的充要条件？ ①p：xy>0，q：x>0，y>0； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|>3，q：x2>9. 解：①若xy>0，则x>0，y>0或x<0，y<0；若x>0，y>0，则xy>0，所以p不是q的充要条件． ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件． (2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： ①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？ 解：①∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s⇔q. ∴s是q的充要条件． ②∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r是q的充要条件． ③∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p. ∴p是q的必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的五种方法 定义法 直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假 集合法 写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断 等价法 利用p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法 传递法 充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 特殊值法 对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 D　解析：a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D． (2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分不必要条件 B．丙是甲的必要不充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙是甲的既不充分也不必要条件 A　解析：如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲． 又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙⇒乙，但乙丙． 综上，有丙⇒乙⇒甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A． 知识点二 充要条件的证明 　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，要从充分性与必要性两个方面证明： 证明充分性 以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p 证明必要性 以p为“已知条件”，q为要证明的“结论”，即p⇒q 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：先证充分性：如果b＝0，那么y＝kx，x＝0时y＝0，函数图象过原点． 再证必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 知识点三 充要条件的应用 　求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件． 解：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－为一负根． 当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝＜0， x1＋x2＝