第一章 1.3 第2课时 补集（word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　补集 [对应学生用书P14] 1．全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集(补集运算体现的是正难则反思想) 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃不出”全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比． 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)U 减数b 减集合A 差a－b 补集∁UA (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． [微练]　判断正误． (1)集合∁RA＝∁QA．( × ) (2)一个集合的补集一定含有元素．( × ) (3)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA．( × ) (4)设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.( × ) [对应学生用书P14] 知识点一 补集的运算 　(1)设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　) A．∅ B．{1，3，5} C．{2，4} D．{0，1，3，5} D　解析：因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}， 所以∁UA＝{0，1，3，5}．故选D． (2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2} C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} C　解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． 故选C． 求集合的补集的常用方法 定义法 当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解 Venn图法 借助Venn图可直观地求出全集及补集 数轴法 当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题 (1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} C　解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C． (2)设全集U＝{1，2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝________． {2}　解析：若x＝2，则x2－2＝2，U＝{1，2，2}，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去). 故U＝{1，2，－1}，A＝{1，－1}，则∁UA＝{2}． 知识点二 交、并、补集的综合运算 　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解：利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图． 则∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}． 所以A∩B＝{x|－2<x≤2}； (∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}； A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}． 求集合运算的类型及策略 类型 所给集合是有限集 所给集合是无限集 策略 先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错 解答有关集合补集问题时，常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解 运算顺序 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分 已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)； (2)∁S(A∪B)； (3)(∁SA)∪(∁SB)； (4)∁S(A∩B). 解：如图所示， 可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁SA＝{x|1<x<2或5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3或x＝7}． 由此可得(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2或x＝7}． (2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2或x＝7}． (3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<2或5≤x≤7}∪{x|1<x<3或x＝7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}． (4)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3或5≤x≤7}． 知识点三 与补集有关的参数问题 命题角度1　求参