第一章 1.1 第2课时 集合的表示（word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　集合的表示 [对应学生用书P3] 1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法(列举法对有限集情有独钟，自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集)． [微练]　用列举法表示下列集合： (1)方程x2－1＝0的解构成的集合为{－1，1}； (2)由单词“maths”的字母构成的集合为{m，a，t，h，s}． 2．描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法叫做描述法(描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合)． [对应学生用书P4] 知识点一 用列举法表示集合 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)方程组的解集D． 解：(1)A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)B＝{2，3，5，7}． (3)C＝{－1，3}． (4)D＝{(3，1)}． 用列举法表示集合的步骤及注意点 分清元素 列举法表示集合，要分清是数集还是点集 书写集合 列元素时要做到不重复、不遗漏 注意：二元方程组的解集、函数的图象形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． 　用列举法表示下列集合： (1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (3)由所有正整数构成的集合． 解：(1){0，2}． (2){(0，1)}． (3){1，2，3，…}． 知识点二 用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合： (1)小于10的所有非负整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (3)不等式2x＋3>7的解集； (4)被3除余2的正整数组成的集合． 解：(1)答案不唯一，如{x|0≤x<10，x∈Z}． (2){(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}． (3)解不等式2x＋3>7得x>2，所以不等式2x＋3>7的解集为{x|x>2}． (4){y|y＝3n＋2，n∈N}． 利用描述法表示集合的步骤 　用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数组成的集合； (2)不等式3x＋4≥2x的所有解； (3)到两坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1){x∈R|1<x<10}． (2){x|x≥－4}． (3){(x，y)|x±y＝0}． 知识点三 集合表示法的应用 命题角度1　集合表示法的选择 　选择适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)1 000以内被3除余2的正整数所组成的集合； (3)所有的正方形； (4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合． 解：(1)解方程组得故解集为{(4，－2)}. (2)设集合的代表元素是数x，则集合用描述法表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}． (3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2，x∈R}． 当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示．对一些元素有规律的无限集，也可以用列举法表示，如正偶数集也可写成{2，4，6，8，10，…}． 选择适当的方法表示下列集合： (1)被5除余1的正整数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合； (3)在直角坐标平面内，两坐标轴上的点组成的集合． 解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}． (2){1，2，3，4，6，8，12，24}． (3){(x，y)|xy＝0}． 命题角度2　求集合中参数的取值范围 　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 解：当k＝0时，原方程为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． [探究]　 将本例中“集合A只有一个元素”改为“集合A至少有一个元素”，求k的取值范围． 解：由集合A至少有一个元素可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个根，分两种情况讨论． ①方程kx2－8x＋16＝0只有一个根，由例题过程可知k＝0或1；②方程kx2－8x＋16＝0有两个不相等的根，需满足Δ＝64－64k>0，解得k<1.综上所