(普查练习)第8课 幂函数-2023版新高考数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练

第8课幂函数 普查与练习8　　　　幂函数 1．幂函数概念的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(2023汇编，10分)已知函数f(x)为幂函数． ①若f(x)＝(m2－m－1)，且其图像与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　A　) A．－1　 B．2 C．3 D．2或－1 ②若2f(4)＝f(16)，则f(x)的解析式是(　A　) A．f(x)＝，x≥0 B．f(x)＝，x>0 C．f(x)＝ D．f(x)＝，x≥0 解析：①因为函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数， 所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x5，其图像过原点，即与两坐标轴有交点，不合题意； 当m＝－1时，f(x)＝，其图像与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝－1.故选A. ②因为f(x)为幂函数，所以设f(x)＝xα. 因为2f(4)＝f(16), 所以2×4α＝16α，即＝2，解得α＝，所以f(x)的解析式是f(x)＝x＝，x≥0.故选A. 2．幂函数的图像 a．由解析式确定图像 (2)(2020四川成都模拟，5分)已知函数y＝ax－3－(a>0且a≠1)的图像恒过定点P.若点P在幂函数f(x)的图像上，则幂函数f(x)的图像大致是(　A　) A B C D 解析：易得函数y＝ax－3－(a>0且a≠1)的图像恒过定点P.　设幂函数f(x)＝xα，则3α＝，解得α＝－1，所以f(x)＝，所以幂函数f(x)的图像大致是选项A中的图像．故选A. b．利用图像比较大小 (3)(2021浙江期末，4分)已知实数a，b满足等式a3＝b5，给出下列五个关系式：①1<b<a；②a<b<－1；③0<b<a<1；④－1<a<b<0；⑤a＝b，其中可能成立的关系式有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 解析：在同一坐标系中画出函数y＝x3和y＝x5的图像，如图所示： 由图可知，在(1)处a<b<－1；在(2)处－1<b<a<0；在(3)处0<a<b<1；在(4)处1<b<a；在两曲线的三个交点处均满足a＝b，所以①②⑤正确．故选C. (4)(2021湖北天门期末，5分)已知a，b，c为正实数，满足a＝log2a，b＝b2，＝2－c，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．a<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 解析：在同一坐标系中作出函数y＝x, y＝log2x，y＝x2，y＝的图像，如图所示： 根据题意知，a为函数y＝x，y＝log2x图像的交点的横坐标， b为函数y＝x，y＝x2图像的交点的横坐标， c为函数y＝，y＝图像的交点的横坐标， 根据图像可得0<c<b<1<a.故选D. c．利用图像解不等式 (5)(2021河北唐山二模，5分)不等式x≤的解集是(　B　) A. B. C. D. 解析： (法一)在同一坐标系中作出函数y＝x，y＝的图像，如图所示： 当x＝时，解得x＝. 由图像知，x≤的解集是.故选B. (法二)当x＝0时，＝＝1，＝＝0， 显然不等式不成立，排除A，C； 当x＝时，＝＝，＝＝，不等式成立，排除D.故选B. 3．幂函数单调性的应用 a．利用幂函数的单调性求参数 (6)(2021河南期末，5分)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)在(0，＋∞)上为增函数，则m的值是(　B　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．1或－3 解析：∵f(x)为幂函数，∴m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3. 当m＝－1时，f(x)＝x－1，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意；当m＝3时，f(x)＝x7，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，符合题意．综上所述，m＝3.故选B. b．利用幂函数的单调性比较大小 (7)(2021四川成都开学测试，5分)设x，y，z为正数，若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　B　) A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y 解析：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， ∴2x＝2k＋1，3y＝3k＋1，5z＝5k＋1. ∵k＜－1，∴k＋1＜0，∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1，即